Задача 78290 ...

66f329b07e3eee7b6aef907c

9/24/2024 9:10:49 PM

a) Решите уравнение: 2sin^2x=3√2sin((π/2)-x)+4
б) Найти все корни этого уравнения принадлежащие промежутку [π; 5π/2]

626fab9a354ab65fb2f43abb

9/25/2024 9:08:29 AM

★

а) [m]2\sin^2 x = 3\sqrt{2} \sin(\frac{\pi}{2} - x) + 4[/m]
По формулам:
sin^2 a = 1 - cos^2 a
sin (π/2 - a) = cos a

[m]2 - 2\cos^2 x = 3\sqrt{2} \cos x + 4[/m]
[m]- 2\cos^2 x = 3\sqrt{2} \cos x + 2[/m]
[m]2\cos^2 x + 3\sqrt{2} \cos x + 2 = 0[/m]
Замена: cos x = t
2t^2 + 3sqrt(2)t + 2 = 0
Получили квадратное уравнение:
D = 3^2*2 - 4*2*2 = 18 - 16 = 2
[m]t1 = \frac{-3\sqrt{2} - \sqrt{2}}{4} = \frac{-4\sqrt{2}}{4} = -\sqrt{2}[/m]
[m]t2 = \frac{-3\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4} = \frac{-2\sqrt{2}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]
Возвращаемся к переменной x:
[m]t1 = \cos x = -\sqrt{2} < -1[/m] - решений нет
[m]t2 = \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}[/m]
[m]x = ± \frac{3\pi}{4} + 2\pi \cdot k[/m], k ∈ Z

б) На промежутке [π; 5π/2] будут корни:
[m]x1 = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4}[/m] - подходит
[m]x2 = \frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{11\pi}{4} > \frac{5\pi}{2}[/m] - не подходит

Ответ: а) x = ± 3π/4 + 2π*k, k ∈ Z
б) x = 5π/4