Задача 7829 ...

larisashakirova

15 марта 2016 г.

Окружность радиуса R касается продолжений двух сторон СВ и СА треугольника ВСА и стороны ВА. Найдите R, если СВ = 2√3, СА = 6√3 и ∠ВСА = 60°.

По свойству касательных проведенных из одной точки отрезок СО является биссектрисой угла АСВ => ∠ACO=30 => CO=2R. Радиус вневписанной окружности равен r=S/(p–a), где S площадь треугольника, p полупериметр треугольника, а сторона к которой проведен радиус.
S=AC•DC•sin ACB=2√3•6√3•√3/2=9√3
р=(2√3+6√3+АВ)/2. По теореме косинусов найдем АВ: АВ²=AC²+BC²–2AC•DC•cos60
АВ²=(6√3)²+(2√3)²–2•√3•6√3•0,5 => AB²=84 =>AB = 2√21
р=(2√3+6√3+2√21)/2=4√3+√21 => p–a=4√3+√21–2√21=4√3–√21
r=9√3/(4√3–√21). Избавимся от иррациональности в знаменателе: r=9√3(4√3+√21)/(4√3–√21)(4√3+√21)=(108+27√7)/(48–21)=27(4–√7)/27=4–√7

Ответ: √7