Задача 7829 ...

larisashakirova

15.03.2016

Окружность радиуса R касается продолжений двух сторон СВ и СА треугольника ВСА и стороны ВА. Найдите R, если СВ = 2sqrt(3), СА = 6sqrt(3) и ∠ВСА = 60°.

По свойству касательных проведенных из одной точки отрезок СО является биссектрисой угла АСВ => ∠ACO=30 => CO=2R. Радиус вневписанной окружности равен r=S/(p-a), где S площадь треугольника, p полупериметр треугольника, а сторона к которой проведен радиус.
S=AC•DC•sin ACB=2√3•6√3•√3/2=9√3
р=(2√3+6√3+АВ)/2. По теореме косинусов найдем АВ: АВ^2=AC^2+BC^2-2AC•DC•cos60
АВ^2=(6√3)^2+(2√3)^2-2•√3•6√3•0,5 => AB^2=84 =>AB = 2√21
р=(2√3+6√3+2√21)/2=4√3+√21 => p-a=4√3+√21-2√21=4√3-√21
r=9√3/(4√3-√21). Избавимся от иррациональности в знаменателе: r=9√3(4√3+√21)/(4√3-√21)(4√3+√21)=(108+27√7)/(48-21)=27(4-√7)/27=4-√7

Ответ: √7