Задача 78270 ...

kseniyabali

12 мая 2024 г. в 11:51

Сплошной шар из диэлектрика (диэлектрическая проницаемость ɛ) радиусом R заряжен равномерно с объемной плотностью ρ. Определите напряженность электростатического поля: 1) на расстоянии r1>R от центра шара; 2) на поверхности шара r1=R; 3) на расстоянии r2< R от центра шара.

admin

28 сентября 2024 г. в 10:34

★

Для решения задачи воспользуемся теоремой Гаусса для электрического поля и используем симметрию задачи.

### Дано:
– Диэлектрическая проницаемость материала шара: [m] \varepsilon [/m]
– Радиус шара: [m] R [/m]
– Объемная плотность заряда: [m] \rho [/m]
– Расстояние от центра шара: [m] r [/m]

### Решение:

··1) На расстоянии [m] r_1 > R [/m] от центра шара:··

Для случая, когда [m] r_1 > R [/m], используя теорему Гаусса:

1. Поток электрического поля через замкнутую поверхность (сферу радиусом [m] r_1 [/m]):

[m] \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = E \cdot 4\pi r_1^2 [/m]

2. Заряд внутри сферы радиусом [m] r_1 [/m] (весь заряд шара):

[m] Q = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 [/m]

3. Теорема Гаусса в диэлектрике:

[m] \varepsilon_0 \varepsilon \oint \vec{E} \cdot d\vec{A} = Q [/m]

Подставляем и решаем:

[m] \varepsilon_0 \varepsilon \cdot E \cdot 4\pi r_1^2 = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 [/m]
[m] E = \frac{\rho R^3}{3 \varepsilon_0 \varepsilon r_1^2} [/m]

Ответ:

[m]
E = \frac{\rho R^3}{3 \varepsilon_0 \varepsilon r_1^2}
[/m]

··2) На поверхности шара [m] r_1 = R [/m]:··

Когда [m] r_1 = R [/m]:

[m] E = \frac{\rho R^3}{3 \varepsilon_0 \varepsilon R^2} = \frac{\rho R}{3 \varepsilon_0 \varepsilon} [/m]

Ответ:

[m]
E = \frac{\rho R}{3 \varepsilon_0 \varepsilon}
[/m]

··3) На расстоянии [m] r_2 < R [/m] от центра шара:··

Для случая [m] r_2 < R [/m]:

1. Рассчитываем заряд внутри сферы радиусом [m] r_2 [/m]:

[m] Q_{r_2} = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r_2^3 [/m]

2. Теорема Гаусса для сферы радиусом [m] r_2 [/m]:

[m] \varepsilon_0 \varepsilon \cdot E \cdot 4\pi r_2^2 = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r_2^3 [/m]

Решаем:

[m] E = \frac{\rho r_2^3}{3 \varepsilon_0 \varepsilon r_2^2} = \frac{\rho r_2}{3 \varepsilon_0 \varepsilon} [/m]

Ответ:

[m]
E = \frac{\rho r_2}{3 \varepsilon_0 \varepsilon}
[/m]

### Итоговые ответы:

1. Напряженность поля на расстоянии [m] r_1 > R [/m]:
[m] E = \frac{\rho R^3}{3 \varepsilon_0 \varepsilon r_1^2} [/m]

2. Напряженность поля на поверхности шара [m] r_1 = R [/m]:
[m] E = \frac{\rho R}{3 \varepsilon_0 \varepsilon} [/m]

3. Напряженность поля на расстоянии [m] r_2 < R [/m] от центра шара:
[m] E = \frac{\rho r_2}{3 \varepsilon_0 \varepsilon} [/m]