Задача 78269 Кошка, охотясь на муху, спрыгивает со...
Условие
Решение
- Высота шкафа (h₀) = 2 м
- Начальная скорость движения кошки (v₀) = 0 м/с
- Потенциальная энергия (Eₚ) вдвое меньше кинетической энергии (Eₖ)
- Ускорение свободного падения (g) ≈ 9.8 м/с²
Решение:
1. Запишем формулы для потенциальной и кинетической энергии.
- Потенциальная энергия [m]Eₚ = mgh[/m], где [m]h[/m] - высота над землей, [m]m[/m] - масса кошки, [m]g[/m] - ускорение свободного падения.
- Кинетическая энергия [m]Eₖ = \frac{1}{2}mv²[/m], где [m]v[/m] - скорость кошки.
2. По условию задачи, на какой-то высоте [m]h[/m] кинетическая энергия будет вдвое больше потенциальной:
[m]Eₖ = 2Eₚ[/m].
3. Запишем это равенство через формулы:
[m]
\frac{1}{2}mv² = 2mgh.
[/m]
4. Масса кошки (m) сокращается из уравнения, и получится:
[m]
\frac{1}{2}v² = 2gh.
[/m]
5. Упрощаем:
[m]
v² = 4gh.
[/m]
6. Теперь выразим [m]v[/m]. Благодаря начальной скорости [m]v₀ = 0[/m], скорость кошки на высоте [m]h[/m] можно найти через уравнение движения с постоянным ускорением:
[m]
v² = 2g(h₀ - h).
[/m]
7. Подставим второе уравнение в первое:
[m]
2g(h₀ - h) = 4gh.
[/m]
8. Упрощаем уравнение:
[m]
2h₀ - 2h = 4h
[/m]
[m]
2h₀ = 6h
[/m]
[m]
h = \frac{2h₀}{6} = \frac{h₀}{3}.
[/m]
9. Подставим [m]h₀ = 2[/m] м:
[m]
h = \frac{2}{3} \text{ м}.
[/m]
Ответ: На высоте [m]\frac{2}{3}[/m] м кинетическая энергия кошки будет вдвое больше потенциальной энергии.