Задача 78229 задача по аналитической геометрии...
Условие
Решение
По теореме косинусов в треугольнике ALK:
KL^2 = AL^2 + AK^2 - 2*AL*AK*cos KAL
KL^2 = 3^2 + 6^2 - 2*3*6*cos π/3 = 9 + 36 - 36*1/2 = 45 - 18 = 27
KL = sqrt(27) = 3sqrt(3)
По теореме синусов:
[m]\frac{KL}{\sin KAL} = \frac{AL}{\sin AKL} = \frac{AK}{\sin ALK}[/m]
[m]\sin AKL = \frac{AL}{KL} \cdot \sin KAL = \frac{3}{3\sqrt{3}} \cdot \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}[/m]
AKL = π/6
[m]\sin ALK = \frac{AK}{KL} \cdot \sin KAL = \frac{6}{3\sqrt{3}} \cdot \sin \frac{\pi}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1[/m]
ALK = π/2
Таким образом, мы узнали, что тр-ник AKL - прямоугольный с углами 90°, 30°, 60°.
Может быть, это можно как-то использовать, я не придумал, как.
Нашел решение через теоремы косинусов.
Обозначим AD = x, AB = y. Строим систему:
{ AL^2 = AD^2 + DL^2 - 2*AD*DL*cos D
{ AK^2 = AB^2 + BK^2 - 2*AB*BK*cos B
{ KL^2 = CL^2 + CK^2 - 2*CL*CK*cos C
Заметим, что углы B = D = 180° - C, поэтому cos D = cos B = -cos C:
{ 3^2 = x^2 + (y/2)^2 + 2*x*y/2*cos C
{ 6^2 = y^2 + (x/2)^2 + 2*y*x/2*cos C
{ 27 = (y/2)^2 + (x/2)^2 - 2*y/2*x/2*cos C
Получили 3 уравнения с 3 неизвестными:
{ x^2 + y^2/4 + x*y*cos C = 9
{ x^2/4 + y^2 + x*y*cos C = 36
{ x^2/4 + y^2/4 - x*y/2*cos C = 27
Умножаем 1 и 2 уравнения на 4, а 3 уравнение на 8, переходим к целым числам:
{ 4x^2 + y^2 + 4x*y*cos C = 36
{ x^2 + 4y^2 + 4x*y*cos C = 144
{ 2x^2 + 2y^2 - 4x*y*cos C = 216
Складываем 1 и 3 уравнения и отдельно 2 и 3 уравнения:
{ 6x^2 + 3y^2 = 252
{ 3x^2 + 6y^2 = 360
Делим на 3 оба уравнения:
{ 2x^2 + y^2 = 84
{ x^2 + 2y^2 = 120
Умножаем 1 уравнение на -2:
{ -4x^2 - 2y^2 = -168
{ x^2 + 2y^2 = 120
Складываем уравнения:
-3x^2 = -48
x^2 = 16
x = 4
Ответ: AD = 4