Задача 78229 задача по аналитической геометрии...

Arina_481953859

19 сентября 2024 г. в 07:21

задача по аналитической геометрии

Удачник66

19 сентября 2024 г. в 02:33

★

Смотрите рисунок.
По теореме косинусов в треугольнике ALK:
KL² = AL² + AK² – 2·AL·AK·cos KAL
KL² = 3² + 6² – 2·3·6·cos π/3 = 9 + 36 – 36·1/2 = 45 – 18 = 27
KL = √27 = 3√3

По теореме синусов:
$\frac{KL}{\sin KAL} = \frac{AL}{\sin AKL} = \frac{AK}{\sin ALK}$
$\sin AKL = \frac{AL}{KL} \cdot \sin KAL = \frac{3}{3\sqrt{3}} \cdot \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2}$
AKL = π/6
$\sin ALK = \frac{AK}{KL} \cdot \sin KAL = \frac{6}{3\sqrt{3}} \cdot \sin \frac{\pi}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1$
ALK = π/2
Таким образом, мы узнали, что тр–ник AKL – прямоугольный с углами 90°, 30°, 60°.
Может быть, это можно как–то использовать, я не придумал, как.
Нашел решение через теоремы косинусов.
Обозначим AD = x, AB = y. Строим систему:
{ AL² = AD² + DL² – 2·AD·DL·cos D
{ AK² = AB² + BK² – 2·AB·BK·cos B
{ KL² = CL² + CK² – 2·CL·CK·cos C
Заметим, что углы B = D = 180° – C, поэтому cos D = cos B = –cos C:
{ 3² = x² + (y/2)² + 2·x·y/2·cos C
{ 6² = y² + (x/2)² + 2·y·x/2·cos C
{ 27 = (y/2)² + (x/2)² – 2·y/2·x/2·cos C
Получили 3 уравнения с 3 неизвестными:
{ x² + y²/4 + x·y·cos C = 9
{ x²/4 + y² + x·y·cos C = 36
{ x²/4 + y²/4 – x·y/2·cos C = 27
Умножаем 1 и 2 уравнения на 4, а 3 уравнение на 8, переходим к целым числам:
{ 4x² + y² + 4x·y·cos C = 36
{ x² + 4y² + 4x·y·cos C = 144
{ 2x² + 2y² – 4x·y·cos C = 216
Складываем 1 и 3 уравнения и отдельно 2 и 3 уравнения:
{ 6x² + 3y² = 252
{ 3x² + 6y² = 360
Делим на 3 оба уравнения:
{ 2x² + y² = 84
{ x² + 2y² = 120
Умножаем 1 уравнение на –2:
{ –4x² – 2y² = –168
{ x² + 2y² = 120
Складываем уравнения:
–3x² = –48
x² = 16
x = 4

Ответ: AD = 4