Задача 78218 В правильной шестиугольной призме А…F1,...

Софья_442704958

18 сентября 2024 г. в 03:36

В правильной шестиугольной призме А…F1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ1 и ВС1

Удачник66

19 сентября 2024 г. в 05:38

★

Построим сверху на этой призме ещё одну такую же призму на высоте 1.
Смотрите рисунок. Нужные отрезки я нарисовал красным, а [AC2] синим.
|AB| = |BC| = |CC1| = |C1C2| = 1 по условию.
|AB1| = |BC1| = |B1C2| = √2
Угол ∠ ABC = 120° = 2π/3
От того, что мы переносим отрезок [BC1] в отрезок [B1C2],
угол между отрезками [AB1] и [BC1] – не поменяется.
Получили угол ∠ AB1C2, косинус которого надо найти.

По теореме косинусов для треугольника Δ ABC:
|AC|² = |AB|² + |BC|² – 2·|AB|·|BC|·cos ABC = 1² + 1² – 2·1·1·(–1/2) = 3
|AC| = √3

По теореме Пифагора для треугольника Δ ACC2:
|AC2|² = |AC|² + |CC2|² = 3 + 2² = 3 + 4 = 7
|AC2| = √7

По теореме косинусов для треугольника Δ AB1C2:
|AC2|² = |AB1|² + |B1C2|² – 2·|AB1|·|B1C2|·cos (AB1C2)
7 = 2 + 2 – 2·√2·√2·cos (AB1C2)
2·2·cos (AB1C2) = 4 – 7 = –3
cos (AB1C2) = –3/4 = –0,75

Ответ: –0,75