Задача 78208 решить системы уравнений:...
Условие
Решение
{ x + 4 = y^3
{ x^2 - y^6 = 8
Выразим y через x:
{ y^3 = x + 4
{ y^6 = x^2 - 8
Возводим в квадрат 1 уравнение:
{ y^6 = x^2 + 8x + 16
{ y^6 = x^2 - 8
Приравниваем правые части:
x^2 + 8x + 16 = x^2 - 8
8x + 16 = -8
8x = -24
x = -3
y^6 = x^2 - 8 = (-3)^2 - 8 = 9 - 8 = 1
y1 = -1; y2 = 1
Ответ: (-3; -1); (-3; 1)
2)
{ 2x - y = -1
{ x^2 + y^3 = 28
Выразим y через x в 1 уравнении и подставим во 2:
{ y = 2x + 1
{ x^2 + (2x + 1)^3 = 28
Получаем:
x^2 + 8x^3 + 12x^2 + 6x + 1 - 28 = 0
8x^3 + 13x^2 + 6x - 27 = 0
8x^3 - 8x^2 + 21x^2 - 21x + 27x - 27 = 0
(x - 1)(8x^2 + 21x + 27) = 0
x1 = 1; y1 = 2x + 1 = 2*1 + 1 = 3
D = 21^2 - 4*8*27 = 441 - 864 < 0
Больше корней нет
Ответ: (1; 3)
3)
{ ax + y = 2
{ x + ay = 2a
Умножаем 1 уравнение на -a:
{ -a^2x - ay = -2a
{ x + ay = 2a
Складываем уравнения:
-a^2x + x = 0
x(1 - a^2) = 0
x(1 + a)(1 - a) = 0
При a = -1 и a = 1 будет x - любое и y = 2 - ax.
При всех остальных a будет x = 0, тогда
y = 2 - ax = 2 - 0 = 2
Ответ: При a = -1; a = 1: x ∈ R; y = 2 - ax
При a ≠ 1; a ≠ -1: (0; 2)
4)
{ (3 + a)*x + 2y = 3
{ ax - y = 3
Умножаем 2 уравнение на 2:
{ (3 + a)*x + 2y = 3
{ 2ax - 2y = 6
Складываем уравнения:
(3 + a)*x + 2ax = 9
x(3 + a + 2a) = 9
x(3 + 3a) = 9
x = 9/(3a + 3) = 3/(a + 1)
При a = -1 решений нет
При a ≠ -1 решение:
x = 3/(a + 1)
y = ax - 3 = 3a/(a + 1) - 3 = (3a - 3a - 3)/(a + 1) = -3/(a + 1)
Ответ: При a = -1 решений нет
При a ≠ -1: (3/(a + 1); -3/(a + 1))