Задача 78198 Нужна помощь \0_0/...

hmmmm

15 сентября 2024 г. в 03:25

Нужна помощь \0₀/

Удачник66

16 сентября 2024 г. в 05:37

★

Сначала нужно просто подставить предел в выражение.
Если получится число – нам повезло.
Если получится неопределенность – ее надо раскрывать.
Неопределенности бывают 7 видов:
$\frac{\infty}{\infty}; \ \frac{0}{0}; \ \infty - \infty; \ 0 \cdot \infty; \ 0^0; \ \infty^0; \ 1^{\infty}$

1) $\lim \limits_{x \to 1} \frac{x+2}{x^2+3x+1} = \frac{1+2}{1^2+3 \cdot 1+1} = \frac{3}{5}$

2) $\lim \limits_{x \to -1} \frac{1-x^2}{1+x} = \frac{1-(-1)^2}{1+(-1)} = \frac{1-1}{1-1} = \frac{0}{0}$
Раскрываем неопределенность.
Раскладываем числитель на множители:
$\lim \limits_{x \to -1} \frac{1-x^2}{1+x} = \lim \limits_{x \to -1} \frac{(1-x)(1+x)}{1+x} = \lim \limits_{x \to -1} (1-x) = 1-(-1) = 2$

3) $\lim \limits_{x \to 2} \frac{2-x}{2x+x^2-8} = \frac{2-2}{2 \cdot 2+2^2-8} = \frac{0}{4+4-8} = \frac{0}{0}$
Раскрываем неопределенность.
Раскладываем знаменатель на множители:
$\lim \limits_{x \to 2} \frac{2-x}{2x+x^2-8} = -\lim \limits_{x \to 2} \frac{x-2}{(x-2)(x+4)} = -\lim \limits_{x \to 2} \frac{1}{x+4} = -\frac{1}{2+4} = -\frac{1}{6}$

4) $\lim \limits_{x \to 5} \frac{x-5}{2-\sqrt{x-1}} = \frac{5-5}{2-\sqrt{5-1}} = \frac{0}{2-\sqrt{4}} = \frac{0}{0}$
Раскрываем неопределенность.
Умножаем числитель и знаменатель на (2 + √x–1):
$\lim \limits_{x \to 5} \frac{x-5}{2-\sqrt{x-1}} = \lim \limits_{x \to 5} \frac{(x-5)(2+\sqrt{x-1})}{(2-\sqrt{x-1})(2+\sqrt{x-1})} =$
$=\lim \limits_{x \to 5} \frac{(x-5)(2+\sqrt{x-1})}{4 - (x-1)} = -\lim \limits_{x \to 5} \frac{(5-x)(2+\sqrt{x-1})}{5 - x} =$
$=-\lim \limits_{x \to 5} \frac{2+\sqrt{x-1}}{1} = -(2+\sqrt{5-1}) = -(2 + \sqrt{4}) = -4$

5) $\lim \limits_{x \to \infty} \frac{7x^2+4x+3}{3x^3-1} = \frac{\infty+\infty+3}{\infty-1} = \frac{\infty}{\infty}$
Раскрываем неопределенность. Делим числитель и знаменатель на x в высшей степени, то есть на x³:
$\lim \limits_{x \to \infty} \frac{7x^2+4x+3}{3x^3-1} = \lim \limits_{x \to \infty} \frac{7/x+4/x^2+3/x^3}{3-1/x^3} = \frac{0+0+0}{3-0} = \frac{0}{3} = 0$

6) $\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{6x}$
Здесь поможет 1 Замечательный предел:
$\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
$\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{6x} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{4x} \cdot \frac{4}{6} = 1\cdot \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$