Задача 78185 Пусть даны две параллельные прямые a и b...
Условие
перпендикулярная к ним прямая c. Найти ГМТ, равноудаленных от этих трех прямых.
Решение
ГМТ, равноудаленных от двух параллельных прямых а и b - это прямая m, параллельная им и лежащая посередине между этими прямыми а и b.
m || a || b
Пусть расстояние между прямыми |а; b| = 2x см.
Тогда |a; m| = |b; m| = x см.
ГМТ, равноудаленных от одной прямой с - это любая прямая n, параллельная с.
n || c.
Она может быть на любом расстоянии от прямой с, но мы возьмём на расстоянии
|n; c| = x см.
Так вот, точка пересечения прямых m и n - это и есть ГМТ, равноудаленных от всех трёх прямых a, b, c.
2) Решение в пространстве.
ГМТ, равноудаленных от двух параллельных прямых а и b - это плоскость α, параллельная им и лежащая посередине между этими прямыми а и b.
α || a || b
|a, b| = 2x см,
|a, α| = |b, α| = x см.
Дальше тоже чуть сложнее.
ГМТ, равноудаленных от прямой с - это цилиндр, для которого прямая с является центральной осью.
Радиус цилиндра может быть любым, но мы берём радиус, равный x см.
Так как прямая c и цилиндр перпендикулярны к прямым a, b, и плоскости α, то плоскость α пересекается с этим цилиндром.
ГМТ, равноудаленных от всех трёх прямых a, b, c - это окружность, по которой плоскость пересекается с цилиндром.
Так как плоскость перпендикулярна цилиндру, то кривая их пересечения - именно окружность, а не эллипс, не гипербола и не парабола.