Задача 78184 Решить задачу: В правильной 6-угольной...

66e2f3785974c737d58123e0

9/12/2024 1:58:56 PM

Решить задачу: В правильной 6-угольной призме АВСДEFА1В1С1Д1E1F1 все ребра равны 1. Найти расстояние между точками а) А и Е1; б)Е и С1

626fab9a354ab65fb2f43abb

9/12/2024 6:28:09 PM

★

Смотрите рисунок. Все рёбра призмы равны 1.
Найдем сначала диагонали 6-угольника.
а) Все нужные отрезки показаны красным цветом.
По теореме косинусов в треугольнике A1E1F1:
A1E1^2 = A1F1^2 + E1F1^2 - 2*A1F1*E1F1*cos (A1F1E1) =
= 1^2 + 1^2 - 2*1*1*cos 120° = 2 - 2(-sqrt(3)/2) = 2 + sqrt(3)
Само значение A1E1 нам не нужно, потому что по теореме Пифагора:
[m]AE1^2 = AA1^2 + A1E1^2 = 1^2 + 2 + \sqrt{3} = 3 + \sqrt{3}[/m]
[m]AE1 = \sqrt{3 + \sqrt{3}}[/m]

б) Расстояние EC1 находим точно также.
Все нужные отрезки показаны зелёным цветом.
EC^2 = ED^2 + DC^2 - 2*ED*DC*cos (EDC) = 2 + sqrt(3)
[m]EC1^2 = EE1^2 + EC^2 = 1^2 + 2 + \sqrt{3} = 3 + \sqrt{3}[/m]
[m]EC1 = \sqrt{3 + \sqrt{3}}[/m]