Задача 78172 ...

641174128cfb9210f616c190

9/12/2024 5:38:03 AM

Докажите, что число вида х+(1)/х не может быть целым числом ни при какому х ∈ Q, отличном от ± 1

626fab9a354ab65fb2f43abb

9/12/2024 10:10:49 AM

★

Если x - целое, то сумма x + 1/x будет целым числом только тогда, когда 1/x - целое.
А это возможно только при x = +-1.

Если же x - не целое, но рациональное, то есть x ∈ Q,
то его можно записать в виде несократимой дроби:
x = a/b
Тогда:
1/x = b/a
При этом, если x > 0, то одно из чисел x или 1/x
будет ∈ (0; 1), а другое будет больше 1.
Или, если x < 0, то одно из чисел x или 1/x
будет ∈ (-1; 0), а другое будет меньше -1.
Их сумма:
[m]x + \frac{1}{x} = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2+b^2}{ab}[/m]
Эта сумма никогда не будет целым числом, потому что
a^2 + b^2 не может нацело делиться на ab.