Задача 78167 (|4x|-x-3-a)/(x^2-x-a) = 0 2 решения?...

cherrycherrymarymary

2 сентября 2024 г. в 08:03

(|4x|–x–3–a)/(x²–x–a) = 0
2 решения?

Удачник66

3 сентября 2024 г. в 11:37

$\frac{|4x| -x-3-a}{x^2-x-a} = 0$
Во–первых, область определения для дроби:
x² – x – a ≠ 0
D = (–1)² – 4·1(–a) = 1 + 4a
1) При D < 0, то есть при a < –1/4 уравнение корней не имеет.
То есть при любом x будет x² – x – a ≠ 0
Если дробь равна 0, что числитель равен 0.
|4x| – x – 3 – a = 0
Далее смотрим значения x < 0 и x ≥ 0
1а) x < 0, |4x| = –4x
–4x – x – 3 – a = 0
–3 – a = 5x
x = (–3 – a)/5 < 0
(3 + a)/5 > 0
a > –3
Это решение будет при a ∈ (–3; –1/4)

1б) x ≥ 0, |4x| = 4x
4x – x – 3 – a = 0
3x – 3 – a = 0
3x = 3 + a
x = (3 + a)/3 ≥ 0
3 + a ≥ 0
a ≥ –3
Это решение будет при a ∈ [–3; –1/4)
Промежутки (–3; –1/4) и [–3; –1/4) пересекаются в (–3; –1/4).
Значит, при a ∈ (–3; –1/4) уравнение имеет два решения:
x1 = (–3 – a)/5; x2 = (3 + a)/3

2) При D = 0, то есть при a = –1/4 исключается одно значение x:
x ≠ 1/2
Если дробь равна 0, что числитель равен 0.
|4x| – x – 3 – a = 0
Далее смотрим значения x < 0 и x ≥ 0
2а) x < 0, |4x| = –4x
–4x – x – 3 + 1/4 = 0
–5x – 11/4 = 0
x = 11/4 : (–5) = –11/20

2б) x ≥ 0, |4x| = 4x
4x – x – 3 + 1/4 = 0
3x – 11/4 = 0
x = 11/4 : 3 = 11/12
Значит, при a = –1/4 уравнение имеет два решения:
x1 = –11/20; x2 = 11/12
Ни одно из решений не равно 1/2, поэтому оба подходят.

3) При D > 0, то есть при a > –1/4 исключаются два значения x:
x1 ≠ (1 – √1 + 4a)/2; x2 ≠ (1 + √1 + 4a)/2
Если дробь равна 0, что числитель равен 0.
|4x| – x – 3 – a = 0
Далее смотрим значения x < 0 и x ≥ 0
3а) x < 0, |4x| = –4x
–4x – x – 3 – a = 0
–3 – a = 5x
x = (–3 – a)/5
Здесь надо проверить, при каких а будут исключения:
(–3 – a)/5 = (1 – √1 + 4a)/2
2(–3 – a) = 5(1 – √1 + 4a)
–6 – 2a = 5 – 5√1 + 4a
5√1 + 4a = 2a + 11
Так как a > –1/4, то 2a + 11 > 0, можно возводить в квадрат:
25(1 + 4a) = 4a² + 44a + 121
25 + 100a = 4a² + 44a + 121
4a² – 56a + 96 = 0
a² – 14a + 24 = 0
(a – 2)(a – 12) = 0
Значит, a ≠ 2 и a ≠ 12
Это решение будет при a ∈ (–1/4; 2) U (2; 12) U (12; +oo)

(–3 – a)/5 = (1 + √1 + 4a)/2
2(–3 – a) = 5(1 + √1 + 4a)
–6 – 2a = 5 + 5√1 + 4a
5√1 + 4a = 11 – 2a
Заметим, что корень арифметический, то есть неотрицательный.
Поэтому должно быть
11 – 2a ≥ 0
a ≤ 5,5
Значит, a ∈ (–1/4; 5,5]
25(1 + 4a) = 121 – 44a + 4a²
25 + 100a = 4a² – 44a + 121
4a² – 144a + 96 = 0
a² – 36a + 24 = 0
D/4 = 18² – 24 = 324 – 24 = 300 = (10√3)²
a1 = 18 – 10√3 ≈ 0,68
a2 = 18 + 10√3 > 5,5 – не подходит.
Значит, a ≠ 18 – 10√3

Кроме того, по условию
x = (–3 – a)/5 < 0
–3 – a < 0
a > –3
Но по условию a > –1/4, поэтому:
Это решение будет при a ∈ (–1/4; 18 – 10√3) U (18 – 10√3; 5,5)

3б) x ≥ 0, |4x| = 4x
4x – x – 3 – a = 0
3x – 3 – a = 0
3x = 3 + a
x = (3 + a)/3
Здесь опять проверяем, при каких а будут исключения:
(3 + a)/3 = (1 – √1 + 4a)/2
2(3 + a) = 3(1 – √1 + 4a)
6 + 2a = 3 – 3√1 + 4a
3√1 + 4a = –2a – 3
Заметим, что корень арифметический, то есть неотрицательный.
Поэтому должно быть
–2a – 3 ≥ 0
a ≤ –3/2
Но по условию a > –1/4, поэтому в этом варианте решений нет.
Таким образом получается, что при x ≥ 0 исключений нет.
Это решение будет при a ∈ (–1/4; +oo)

Окончательное решение по всем пунктам::
a ∈ (–3; –1/4) U {–1/4} U (–1/4; 18 – 10√3) U (18 – 10√3; 2) U (2; 5,5)

Ответ: a ∈ (–3; 18 – 10√3) U (18 – 10√3; 2) U (2; 5,5)