Задача 78167 (|4x|-x-3-a)/(x^2-x-a) = 0 2 решения?...
Условие
2 решения?
Решение
Все решения
Во-первых, область определения для дроби:
x^2 - x - a ≠ 0
D = (-1)^2 - 4*1(-a) = 1 + 4a
1) При D < 0, то есть при a < -1/4 уравнение корней не имеет.
То есть при любом x будет x^2 - x - a ≠ 0
Если дробь равна 0, что числитель равен 0.
|4x| - x - 3 - a = 0
Далее смотрим значения x < 0 и x ≥ 0
1а) x < 0, |4x| = -4x
-4x - x - 3 - a = 0
-3 - a = 5x
x = (-3 - a)/5 < 0
(3 + a)/5 > 0
a > -3
Это решение будет при a ∈ (-3; -1/4)
1б) x ≥ 0, |4x| = 4x
4x - x - 3 - a = 0
3x - 3 - a = 0
3x = 3 + a
x = (3 + a)/3 ≥ 0
3 + a ≥ 0
a ≥ -3
Это решение будет при a ∈ [-3; -1/4)
Промежутки (-3; -1/4) и [-3; -1/4) пересекаются в (-3; -1/4).
Значит, при a ∈ (-3; -1/4) уравнение имеет два решения:
x1 = (-3 - a)/5; x2 = (3 + a)/3
2) При D = 0, то есть при a = -1/4 исключается одно значение x:
x ≠ 1/2
Если дробь равна 0, что числитель равен 0.
|4x| - x - 3 - a = 0
Далее смотрим значения x < 0 и x ≥ 0
2а) x < 0, |4x| = -4x
-4x - x - 3 + 1/4 = 0
-5x - 11/4 = 0
x = 11/4 : (-5) = -11/20
2б) x ≥ 0, |4x| = 4x
4x - x - 3 + 1/4 = 0
3x - 11/4 = 0
x = 11/4 : 3 = 11/12
Значит, при a = -1/4 уравнение имеет два решения:
x1 = -11/20; x2 = 11/12
Ни одно из решений не равно 1/2, поэтому оба подходят.
3) При D > 0, то есть при a > -1/4 исключаются два значения x:
x1 ≠ (1 - sqrt(1 + 4a))/2; x2 ≠ (1 + sqrt(1 + 4a))/2
Если дробь равна 0, что числитель равен 0.
|4x| - x - 3 - a = 0
Далее смотрим значения x < 0 и x ≥ 0
3а) x < 0, |4x| = -4x
-4x - x - 3 - a = 0
-3 - a = 5x
x = (-3 - a)/5
Здесь надо проверить, при каких а будут исключения:
(-3 - a)/5 = (1 - sqrt(1 + 4a))/2
2(-3 - a) = 5(1 - sqrt(1 + 4a))
-6 - 2a = 5 - 5sqrt(1 + 4a)
5sqrt(1 + 4a) = 2a + 11
Так как a > -1/4, то 2a + 11 > 0, можно возводить в квадрат:
25(1 + 4a) = 4a^2 + 44a + 121
25 + 100a = 4a^2 + 44a + 121
4a^2 - 56a + 96 = 0
a^2 - 14a + 24 = 0
(a - 2)(a - 12) = 0
Значит, a ≠ 2 и a ≠ 12
Это решение будет при a ∈ (-1/4; 2) U (2; 12) U (12; +oo)
(-3 - a)/5 = (1 + sqrt(1 + 4a))/2
2(-3 - a) = 5(1 + sqrt(1 + 4a))
-6 - 2a = 5 + 5sqrt(1 + 4a)
5sqrt(1 + 4a) = 11 - 2a
Заметим, что корень арифметический, то есть неотрицательный.
Поэтому должно быть
11 - 2a ≥ 0
a ≤ 5,5
Значит, a ∈ (-1/4; 5,5]
25(1 + 4a) = 121 - 44a + 4a^2
25 + 100a = 4a^2 - 44a + 121
4a^2 - 144a + 96 = 0
a^2 - 36a + 24 = 0
D/4 = 18^2 - 24 = 324 - 24 = 300 = (10sqrt(3))^2
a1 = 18 - 10sqrt(3) ≈ 0,68
a2 = 18 + 10sqrt(3) > 5,5 - не подходит.
Значит, a ≠ 18 - 10sqrt(3)
Кроме того, по условию
x = (-3 - a)/5 < 0
-3 - a < 0
a > -3
Но по условию a > -1/4, поэтому:
Это решение будет при a ∈ (-1/4; 18 - 10sqrt(3)) U (18 - 10sqrt(3); 5,5)
3б) x ≥ 0, |4x| = 4x
4x - x - 3 - a = 0
3x - 3 - a = 0
3x = 3 + a
x = (3 + a)/3
Здесь опять проверяем, при каких а будут исключения:
(3 + a)/3 = (1 - sqrt(1 + 4a))/2
2(3 + a) = 3(1 - sqrt(1 + 4a))
6 + 2a = 3 - 3sqrt(1 + 4a)
3sqrt(1 + 4a) = -2a - 3
Заметим, что корень арифметический, то есть неотрицательный.
Поэтому должно быть
-2a - 3 ≥ 0
a ≤ -3/2
Но по условию a > -1/4, поэтому в этом варианте решений нет.
Таким образом получается, что при x ≥ 0 исключений нет.
Это решение будет при a ∈ (-1/4; +oo)
Окончательное решение по всем пунктам::
a ∈ (-3; -1/4) U {-1/4} U (-1/4; 18 - 10sqrt(3)) U (18 - 10sqrt(3); 2) U (2; 5,5)
Ответ: a ∈ (-3; 18 - 10sqrt(3)) U (18 - 10sqrt(3); 2) U (2; 5,5)