Задача 78157 ...

Antony_582151282

9 сентября 2024 г. в 08:13

При каких значениях параметра p прямые y=(2p²–p)x+2p и y=(p²+2p)x+6 имеют только одну общую точку с отрицательной абциссой?

Удачник66

9 сентября 2024 г. в 08:33

★

y = (2p² – p)·x + 2p
y = (p² + 2p)·x + 6
Обе прямые заданы в виде с угловым коэффициентом:
y = kx + b
Если две прямые имеют одну общую точку, то они пересекаются в этой точке.
Если прямые пересекаются, то их коэффициенты при x не равны друг другу.
2p² – p ≠ p² + 2p
p² – 3p ≠ 0
p(p – 3) ≠ 0
p ≠ 0, p ≠ 3

При p = 0 прямые будут иметь вид:
y = 0·x + 0 = 0
y = 0·x + 6 = 6
Это параллельные прямые.
При p = 3 прямые будут иметь вид:
y = (2·9 – 3)·x + 2·3 = 15x + 6
y = (9 + 2·3)·x + 6 = 15x + 6
Это совпадающие прямые, они имеют бесконечное множество общих точек.

При всех остальных p прямые пересекаются.
Осталось найти, при каких p абсцисса точки пересечения отрицательна, то есть в этой точке x < 0.
Чтобы найти точку пересечения, нужно приравнять правые части прямых друг к другу:
(2p² – p)·x + 2p = (p² + 2p)·x + 6
(2p² – p)·x – (p² + 2p)·x = 6 – 2p
(p² – 3p)·x = 6–2p
$x = \frac{6-2p}{p^2 - 3p} = \frac{2(3-p)}{p(p - 3)} = -\frac{2}{p}$
Так как p ≠ 3, то (p – 3) можно сократить.
Получаем условие:
–2/p < 0
Отсюда: p > 0, p ≠ 3

Ответ: p ∈ (0; 3) U (3; +oo)