Задача 78154 Как решить 3 номер...
Условие
Решение
Плоскость P: 3x + 2y - 2z + 5 = 0
Направляющий вектор прямой составляется из знаменателей дробей: m(2; -1; 2)
Нормальный вектор плоскости составляется из коэффициентов плоскости: n(3; 2; -2)
Нормальный вектор плоскости перпендикулярен плоскости.
Если прямая параллельна плоскости, то нормальный вектор плоскости перпендикулярен направляющему вектору прямой.
Если два вектора в пространстве перпендикулярны друг другу, то их скалярное произведение равно 0:
m*n = 0
Это значит, что их координаты отвечают уравнению :
X(m)*X(n) + Y(m)*Y(n) + Z(m)*Z(n) = 0
В нашем случае:
2*3 + (-1)*2 + 2*(-2) = 6 - 2 - 4 = 0
Скалярное произведение равно 0, значит, векторы m ⊥ n
Это означает, что прямая и плоскость параллельны: L || P
Чтобы найти расстояние между прямой и плоскостью, нужно взять какую-то точку на прямой.
Из уравнения прямой: [m]\frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z}{2}[/m]
Мы видим, что на ней есть точка: A(1; -3; 0).
Уравнение плоскости: P: 3x + 2y - 2z + 5 = 0
И теперь надо найти расстояние от этой точки до плоскости:
[m](L; P) = (A; P) = \frac{|X(A) \cdot X(P) + Y(A) \cdot Y(P) + Z(A) \cdot Z(P)|}{\sqrt{X(P)^2 + Y(P)^2 + Z(P)^2}} = [/m]
[m] = \frac{|1 \cdot 3 + (-3) \cdot 2 + 0 \cdot (-2)|}{\sqrt{3^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|3 - 6 + 0|}{\sqrt{9 + 4 + 4}} = \frac{3}{\sqrt{17}}[/m]