Задача 78143 Нужна помощь \0_0/...
Условие
Решение
Неопределённости бывают таких 7 видов:
[m]\frac{0}{0}; \frac{\infty}{\infty}; \infty \cdot 0; \infty - \infty; \infty^0; 0^0; 1^{\infty}[/m]
1) [m]\lim \limits_{x \to 1} (9x^2 - 6x + 8) = 9 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 + 8 = 9 - 6 + 8 = 11[/m]
2) [m]\lim \limits_{x \to 2} \frac{x^2-5x+6}{x-2} = \frac{2^2-5 \cdot 2+6}{2-2} = \frac{4-10+6}{0} = \frac{0}{0}[/m]
Раскрываем неопределённость, раскладываем на множители числитель и знаменатель:
[m]\lim \limits_{x \to 2} \frac{x^2-5x+6}{x-2} = \lim \limits_{x \to 2} \frac{(x-2)(x-3)}{x-2} = \lim \limits_{x \to 2} (x-3) = 2-3 = -1 [/m]
3) [m]\lim \limits_{x \to 2} \frac{4x^2-7x-2}{5x^2-9x-2} = \frac{4 \cdot 2^2-7 \cdot 2-2}{5 \cdot 2^2-9 \cdot 2-2} = \frac{16-14-2}{20-18-2} =\frac{0}{0}[/m]
Раскрываем неопределённость, раскладываем на множители числитель и знаменатель:
[m]\lim \limits_{x \to 2} \frac{4x^2-7x-2}{5x^2-9x-2} = \lim \limits_{x \to 2} \frac{(x-2)(4x+1)}{(x-2)(5x+1)} = \lim \limits_{x \to 2} \frac{4x+1}{5x+1} = \frac{4 \cdot 2+1}{5 \cdot 2+1} = \frac{9}{11}[/m]
4) [m]\lim \limits_{x \to 1} \frac{x+2}{x^2+3x+1} = \frac{1+2}{1^2+3 \cdot 1+1} = \frac{3}{5}[/m]
5) [m]\lim \limits_{x \to 5} \frac{5x-x^2}{25-x^2} = \frac{5 \cdot 5 -5^2}{25-5^2} = \frac{0}{0}[/m]
Раскрываем неопределённость, раскладываем на множители числитель и знаменатель:
[m]\lim \limits_{x \to 5} \frac{5x-x^2}{25-x^2} = \lim \limits_{x \to 5} \frac{x(5-x)}{(5-x)(5+x)} = \lim \limits_{x \to 5} \frac{x}{5+x} = \frac{5}{5+5} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}[/m]
6) [m]\lim \limits_{x \to 0} \frac{1- \sqrt{x+1}}{x} = \frac{1- \sqrt{0+1}}{0} = \frac{1- 1}{0} = \frac{0}{0}[/m]
Раскрываем неопределённость, домножаем числитель и знаменатель на (1+sqrt(x+1)):
[m]\lim \limits_{x \to 0} \frac{1- \sqrt{x+1}}{x} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{(1- \sqrt{x+1})(1+ \sqrt{x+1})}{x(1+ \sqrt{x+1})} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{1-x-1}{x(1+ \sqrt{x+1})} = [/m]
[m]= \lim \limits_{x \to 0} \frac{-x}{x(1+ \sqrt{x+1})} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{-1}{1+ \sqrt{x+1}} = \frac{-1}{1+ \sqrt{0+1}} = -\frac{1}{2}[/m]
7) [m]\lim \limits_{x \to 1} \frac{1-x}{x^2-4x+3} = \frac{1-1}{1^2-4 \cdot 1+3} = \frac{0}{1-4+3}= \frac{0}{0}[/m]
Раскрываем неопределённость, раскладываем на множители числитель и знаменатель:
[m]\lim \limits_{x \to 1} \frac{1-x}{x^2-4x+3} = -\lim \limits_{x \to 1} \frac{x-1}{(x-1)(x-3)} = -\lim \limits_{x \to 1} \frac{1}{x-3} = -\frac{1}{1-3} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}[/m]
8) [m]\lim \limits_{x \to 4} \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1} = \frac{\sqrt{4}+1}{\sqrt{4}-1} = \frac{2+1}{2-1} = \frac{3}{1} = 3[/m]
9) [m]\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{4+x} - \sqrt{4-x}}{6x} = \frac{\sqrt{4+0} - \sqrt{4-0}}{6 \cdot 0} = \frac{\sqrt{4} - \sqrt{4}}{0} = \frac{0}{0}[/m]
Раскрываем неопределённость, домножаем числитель и знаменатель на (sqrt(4+x) + sqrt(4-x)):
[m]\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sqrt{4+x} - \sqrt{4-x}}{6x} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{(\sqrt{4+x} - \sqrt{4-x})(\sqrt{4+x} + \sqrt{4-x})}{6x(\sqrt{4+x} + \sqrt{4-x})} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{(4+x) - (4-x)}{6x(\sqrt{4+x} + \sqrt{4-x})} =[/m]
[m] = \lim \limits_{x \to 0} \frac{2x}{6x(\sqrt{4+x} + \sqrt{4-x})} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{1}{3(\sqrt{4+x} + \sqrt{4-x})} = \frac{1}{3(\sqrt{4} + \sqrt{4})} = \frac{1}{3(2 + 2)} = \frac{1}{12}[/m]