Задача 78140 Существуют ли двузначные числа, которые...

ddddddf

6 сентября 2024 г. в 09:00

Существуют ли двузначные числа, которые равны удвоенному произведению своих цифр?

u821511235

7 сентября 2024 г. в 06:30

★

Двузначное число, в котором х десятков (х – цифра, х ≠ 0) и у единиц (у – любая цифра) записывается так:
10х+у.
Удвоенное произведение цифр этого числа: 2ху.
Получаем уравнение:
10х+у=2ху,
10х=2ху–у,
10х=у(2х–1),
у=(10х)/(2х–1),
если х=1, то у=10 – не подходит,
число 10х делится нацело на 10 или на число, оканчивающееся на 5,
если 2х–1=10, то х =5,5 – не цифра, не подходит,
если 2х–1=5, то х=3, тогда у=(10·3)/5=6, получаем число 36.
Проверяем:
36=2·(3+6) – верное равенство,
если 2х–1=15, то х=8, тогда у=80/15=16/3 – не цифра, не подходит,
если 2х–1=25, то х=13 – не цифра, не подходит.
Другие значения 2х–1 тоже не подходят.
Значит, только одно двузначное число 36 удовлетворяет условию задачи.