Задача 78137 Решите в целых числах уравнения ...

ddddddf

6 сентября 2024 г. в 09:50

Решите в целых числах уравнения
5х+8у=29

Удачник66

6 сентября 2024 г. в 12:23

★

5x + 8y = 29
Выразим y через x:
$y = \frac{29 - 5x}{8} = \frac{24+5 - 5x}{8} = 3 - \frac{5x - 5}{8} = 3 - \frac{5(x - 1)}{8}$
Для того, что бы y было целым числом, нужно, чтобы 1 – x делилось на 8.
Одно решение в натуральных числах найти легко:
x1 = 1; y1 = 3 – 5(1 – 1)/8 = 3 – 0 = 3
Другие целые решения:
x2 = 9; y2 = 3 – 5·8/8 = 3 – 5 = –2
x3 = –7; y3 = 3 – 5(–8)/8 = 3 + 5 = 8
И так далее.
Берем любой известный x, прибавляем или вычитаем 8 и получаем новый x.
Из него вычисляем новый y.
Очевидно, что решение в натуральных числах – только одно, а в целых – множество.
Общее решение:
x = 1 + 8k, y = 3 – 5k, k ∈ Z