Задача 78128 докажите, что при любом целом n число...
Условие
Решение
Должно быть: при любом целом m.
Во-вторых, попробуем доказать алгебраически.
m^3 + 11m = m*(m^2 + 11)
Если m делится на 6, то утверждение доказано.
Если m не делится на 6, то рассмотрим варианты:
1) m делится на 3, но не делится на 6. Значит, m нечетное.
Пусть m = 3n, тогда m^2 - тоже нечетное, а m^2 + 11 - четное.
Пусть m^2 + 11 = 2k
Произведение:
m*(m^2 + 11) = 3n*2k = 6*nk - делится на 6.
2) m имеет остаток 1 при делении на 3.
m = 3n + 1, тогда:
m^2 + 11 = (3n+1)^2 + 11 = 9n^2 + 6n + 1 + 11 = 9n^2 + 6n + 12
Произведение:
m*(m^2+11) = (3n+1)(9n^2+6n+12) = 9n^2*(3n+1) + 6(3n+1)(n+2)
Ясно, что второе слагаемое делится на 6. Проверим первое слагаемое:
9n^2*(3n + 1)
а) Пусть n - четное, n = 2k, тогда:
9n^2*(3n + 1) = 9*4k^2*(6k + 1) = 36k^2*(6k + 1)
Это произведение делится на 6, значит и вся сумма:
36k^2*(6k + 1) + 6(3n+1)(n+2) - делится на 6.
б) Пусть n - нечетное, n = 2k + 1, тогда:
9n^2*(3n+1) = 9(2k+1)^2*(6k+3+1) = 9(2k+1)^2*(6k+4) = 18(2k+1)^2*(3k+2)
Это произведение делится на 6, значит и вся сумма:
18(2k+1)^2*(3k+2) + 6(3n+1)(n+2) - делится на 6.
3) m имеет остаток 2 при делении на 3. Можно записать так:
m = 3n - 1, тогда:
m^2 + 11 = (3n-1)^2 + 11 = 9n^2 - 6n + 1 + 11 = 9n^2 - 6n + 12
Произведение:
m*(m^2+11) = (3n-1)(9n^2-6n+12) = 9n^2*(3n-1) + 6(3n-1)(2-n)
Ясно, что второе слагаемое делится на 6. Проверим первое слагаемое.
Дальше всё доказательство такое же, как в пункте 2, только везде 3n-1 вместо 3n+1.
И выводы такие же: во всех случаях сумма делится на 6.
Таким образом, мы доказали, что при любом целом m число m^3 + 11m делится на 6.