Задача 78128 докажите, что при любом целом n число...

ddddddf

6 сентября 2024 г. в 07:18

докажите, что при любом целом n число m³+11m делится на 6

Удачник66

6 сентября 2024 г. в 08:21

★

Во–первых, вы опечатались.
Должно быть: при любом целом m.
Во–вторых, попробуем доказать алгебраически.
m³ + 11m = m·(m² + 11)
Если m делится на 6, то утверждение доказано.
Если m не делится на 6, то рассмотрим варианты:
1) m делится на 3, но не делится на 6. Значит, m нечетное.
Пусть m = 3n, тогда m² – тоже нечетное, а m² + 11 – четное.
Пусть m² + 11 = 2k
Произведение:
m·(m² + 11) = 3n·2k = 6·nk – делится на 6.

2) m имеет остаток 1 при делении на 3.
m = 3n + 1, тогда:
m² + 11 = (3n+1)² + 11 = 9n² + 6n + 1 + 11 = 9n² + 6n + 12
Произведение:
m·(m²+11) = (3n+1)(9n²+6n+12) = 9n²·(3n+1) + 6(3n+1)(n+2)
Ясно, что второе слагаемое делится на 6. Проверим первое слагаемое:
9n²·(3n + 1)
а) Пусть n – четное, n = 2k, тогда:
9n²·(3n + 1) = 9·4k²·(6k + 1) = 36k²·(6k + 1)
Это произведение делится на 6, значит и вся сумма:
36k²·(6k + 1) + 6(3n+1)(n+2) – делится на 6.

б) Пусть n – нечетное, n = 2k + 1, тогда:
9n²·(3n+1) = 9(2k+1)²·(6k+3+1) = 9(2k+1)²·(6k+4) = 18(2k+1)²·(3k+2)
Это произведение делится на 6, значит и вся сумма:
18(2k+1)²·(3k+2) + 6(3n+1)(n+2) – делится на 6.

3) m имеет остаток 2 при делении на 3. Можно записать так:
m = 3n – 1, тогда:
m² + 11 = (3n–1)² + 11 = 9n² – 6n + 1 + 11 = 9n² – 6n + 12
Произведение:
m·(m²+11) = (3n–1)(9n²–6n+12) = 9n²·(3n–1) + 6(3n–1)(2–n)
Ясно, что второе слагаемое делится на 6. Проверим первое слагаемое.
Дальше всё доказательство такое же, как в пункте 2, только везде 3n–1 вместо 3n+1.
И выводы такие же: во всех случаях сумма делится на 6.

Таким образом, мы доказали, что при любом целом m число m³ + 11m делится на 6.