Задача 78119 Докажите, что сумма любых двенадцати...

ddddddf

5 сентября 2024 г. в 02:12

Докажите, что сумма любых двенадцати последовательных натуральных чисел не делится на 4.

u821511235

5 сентября 2024 г. в 03:49

★

Пусть n – первое натуральное число, тогда (n+11) – двенадцатое натуральное число.
Рассмотрим суммы первого и последнего числа,
второго и предпоследнего и т.д., всего таких сумм будет 6:
n+(n+11)=2n+11,
(n+1)+(n+10)=2n+11,
(n+2)+(n+9)=2n+11,
(n+3)+(n+8)=2n+11,
(n+4)+(n+7)=2n+11,
(n+5)+(n+6)=2n+11.
Тогда сумма всех 12 чисел будет равна:
(2n+11)·6.
Число (2n+11) – нечетное, оно не делится на 4 без остатка,
число 6 тоже не делится на 4 без остатка,
значит, число (2n+11)·6 не делится на 4 без остатка.
Таким образом получаем, что сумма любых двенадцати последовательных натуральных чисел не делится на 4.