Задача 78112 В прямоугольном параллелепипеде...

66d8526ecc24e82710faf95e

9/4/2024 12:30:02 PM

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 стороны основания AB=5 и BC=3, а высота AA1 =4. Найдите угол между прямыми AC1 и B1C.

626fab9a354ab65fb2f43abb

9/4/2024 2:54:52 PM

★

Смотрите рисунок.
Имеем прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
Проводим в нем диагональ AC1 и диагонали граней AC и B1C.
Отрезки AC1 и B1C показаны толстым красным.
AC - промежуточный отрезок, показан тонким красным.
|AC| = sqrt(AB^2 + BC^2) = sqrt(5^2 + 3^2) = sqrt(25 + 9) = sqrt(34)
|AC1| = sqrt(AC^2 + CC1^2) = sqrt(34 + 4^2) = sqrt(34 + 16) = sqrt(50) = 5sqrt(2)
|B1C| = sqrt(BC^2 + BB1^2) = sqrt(3^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = sqrt(25) = 5
Проводим отрезок |СE| = |BC| = 3 - продолжение стороны BC.
То есть продолжаем отрезок BC еще на такую же длину.
Проводим отрезок C1E || B1C:
|C1E| = |B1C| = 5.
То есть переносим отрезок B1C параллельным переносом.
|CE| = |BC| = 3, |BE| = 6
|AE| = sqrt(AB^2 + BE^2) = sqrt(5^2 + 6^2) = sqrt(25 + 36) = sqrt(61)

Теперь мы наконец получили в явном виде угол:
∠ (A1C; BC1) = ∠ AC1E
Найти его можно по теореме косинусов:
|AE|^2 = |AC1|^2 + |C1E|^2 - 2*|AC1|*|C1E|*cos AC1E
61 = 50 + 5^2 - 2*5sqrt(2)*5*cos AC1E
61 = 50 + 25 - 50sqrt(2)*cos AC1E
50sqrt(2)*cos AC1E = 75 - 61 = 14
[m]\cos AC1E = \frac{14}{50\sqrt{2}} = \frac{14\sqrt{2}}{100} ≈ 0,198[/m]
[m] ∠ AC1E = arccos(\frac{14\sqrt{2}}{100}) ≈ 78,58° ≈ 78°35'[/m]

Ответ: ∠ AC1E = arccos(14sqrt(2)/100) ≈ 78°35'