Задача 78106 Точка M(x, y), декартовы координаты...
Условие
{ a^2x–y=2a^2–2b;
{ x–by=2–2a^2
лежит на прямой y=2–x. При каких действительных a и b эта точка наиболее близко расположена к точке N(3; –1)
Решение
{ a^2*x - y = 2a^2 - 2b
{ x - b*y = 2 - 2a^2
Точка лежит на прямой y = 2 - x и расположена как можно ближе к N(3; -1)
Заметим, что 2 - 3 = -1, поэтому точка N(3; -1) лежит на этой же прямой y = 2 - x.
Если две точки на прямой лежат как можно ближе друг к другу, то они совпадают.
Значит, нам нужно найти, при каких а и b точка совпадает с точкой N.
Подставляем в уравнения x = 3, y = -1:
{ 3a^2 + 1 = 2a^2 - 2b
{ 3 - b*(-1) = 2 - 2a^2
Упрощаем:
{ a^2 + 1 = - 2b
{ 2a^2 + 1 = - b
Умножаем 2 уравнение на 2:
{ a^2 + 1 = - 2b
{ 4a^2 + 2 = - 2b
Правые части одинаковые, приравниваем левые части:
4a^2 + 2 = a^2 + 1
3a^2 = -1
Но a^2 ≥ 0 и не может равняться -1.
Значит, ни при каких а и b точки не совпадают.
Но мы можем найти какую-то ближайшую точку.
Возьмем, например, x = 2, тогда y = 2 - x = 2 - 2 = 0
{ 2a^2 + 0 = 2a^2 - 2b
{ 2 + 0b = 2 - 2a^2
Упрощаем:
{ 0 = - 2b
{ 2a^2 + 0 = 0
a = b = 0, x = 2, y = 0
[m]|MN| = \sqrt{(3-2)^2+(-1-0)^2} = \sqrt{1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}[/m]
Возьмем x = 2,5, тогда y = 2 - x = 2 - 2,5 = -0,5
{ 2,5a^2 + 0,5 = 2a^2 - 2b
{ 2,5 + 0,5b = 2 - 2a^2
Упрощаем:
{ 0,5a^2 + 0,5 = - 2b
{ 2a^2 + 0,5 = - 0,5b
Умножаем 2 уравнение на 4:
{ 0,5a^2 + 0,5 = - 2b
{ 8a^2 + 2 = - 2b
Правые части одинаковые, приравниваем левые части:
8a^2 + 2 = 0,5a^2 + 0,5
7,5a^2 = -1,5
Решений нет.
Возьмем x = 4, тогда y = 2 - x = 2 - 4 = -2
{ 4a^2 + 2 = 2a^2 - 2b
{ 4 + 2b = 2 - 2a^2
Упрощаем:
{ 2a^2 + 2 = - 2b
{ 2a^2 + 2 = - 2b
Мы получили два одинаковых уравнения.
b = -a^2 - 1
Можно подставить любое a и получить b.
Например, a = 3, b = -9 - 1 = -10
a = -5, b = -25 - 1 = -26
И так далее. Это бесконечное количество решений.
Но во всех случаях будет M(4; -2) и расстояние:
[m]|MN| = \sqrt{(3-4)^2+(-1+2)^2} = \sqrt{(-1)^2+1^2} = \sqrt{2}[/m]
Я проверил точки (2,9; -0,9), (2,5; -0,5), (2,1; -0,1), (3,1; -1,1), (3,5; -1,5), (3,9; -1,9).
Во всех этих точках получается a^2 < 0, решений нет.
Ответ: При a = b = 0 и при a = k ∈ Z; b = -k^2 - 1 расстояние между точками равно sqrt(2).
При попытке взять более близкую точку - решений нет.