Задача 78105 Решите неравенство 4 корня из...
Условие
Решение
Все решения
Область определения для корня:
7 - cos 4x ≥ 0
cos 4x ≤ 7
Функция cos x принимает значения [-1; 1].
Поэтому при любом x будет cos 4x ≤ 7.
Область определения: x ∈ R
Далее, корень арифметический, то есть неотрицательный.
1) Если cos x ≥ 0, то -2cos x ≤ 0, то есть:
[b]x1 ∈ [-π/2 + 2π*k; π/2 + 2π*k]; k ∈ Z[/b]
тогда корень будет больше отрицательного числа при любом x.
Это решение на рисунке обозначено синей дугой.
2) Если cos x < 0, то -2cos x > 0, то есть:
[b]x ∈ (π/2 + 2π*k; 3π/2 + 2π*k); k ∈ Z[/b], тогда можно возвести в 4 степень:
[m]\frac{7-\cos 4x}{2} > 16 \cos^4 x[/m]
7 - cos 4x > 32*cos^4 x
cos 4x + 32*cos^4 x - 7 < 0
Применим формулу [b]cos 2x = 2cos^2 x - 1[/b]:
(2*(cos 2x)^2 - 1) + 32*cos^4 x - 7 < 0
2*(cos 2x)^2 - 1 + 32*cos^4 x - 7 < 0
Снова применим ту же формулу [b]cos 2x = 2cos^2 x - 1[/b]:
2(2*cos^2 x - 1)^2 + 32*cos^4 x - 8 < 0
2(4*cos^4 x - 4*cos^2 x + 1) + 32*cos^4 x - 8 < 0
8*cos^4 x - 8*cos^2 x + 2 + 32*cos^4 x - 8 < 0
40*cos^4 x - 8*cos^2 x - 6 < 0
Делим на 2 всё неравенство:
20*cos^4 x - 4*cos^2 x - 3 < 0
Замена cos^2 x = t ≥ 0 при любом x:
20t^2 - 4t - 3 < 0
Получили обычное квадратное неравенство:
D/4 = 2^2 - 20(-3) = 4 + 60 = 64 = 8^2
t1 = (2 - 8)/20 = -6/20 = -3/10 = -0,3
t2 = (2 + 8)/20 = 10/20 = 1/2 = 0,5
(t + 0,3)(t - 0,5) < 0
Возвращаемся к переменной x:
(cos^2 x + 0,3)(cos^2 x - 0,5) < 0
cos^2 x + 0,3 > 0 при любом x, поэтому:
cos^2 x - 0,5 < 0
[m]\cos^2 x - \frac{1}{2} < 0[/m]
[m](\cos x - \frac{1}{\sqrt{2}})(\cos x + \frac{1}{\sqrt{2}) < 0[/m]
[m]\cos x ∈ (-\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{1}{\sqrt{2}})[/m]
Решение смотрите на рисунке, оно выделено красной дугой.
[b]x ∈ (5π/4 + 2π*n; 7π/4 + 2π*n); n ∈ Z[/b]
Но по условию:
[b]x ∈ (π/2 + 2π*k; 3π/2 + 2π*k); k ∈ Z[/b]
Это условие на рисунке обозначено зеленой дугой.
Решение:
[b]x2 ∈ (5π/4 + 2π*n; 3π/2 + 2π*n); n ∈ Z[/b]
Все решения неравенства:
[b]x1 ∈ [-π/2 + 2π*k; π/2 + 2π*k]; k ∈ Z[/b]
[b]x2 ∈ (5π/4 + 2π*n; 3π/2 + 2π*n); n ∈ Z[/b]
И, наконец, отвечаем на вопрос задачи:
Найти сумму целых решений на промежутке [0; 2π)
[b]x1 ∈ [6,28*k; 3,14 + 6,28*k]; k ∈ Z[/b]
[b]x2 ∈ (3,93 + 6,28*n; 4,71 + 6,28*n); n ∈ Z[/b]
Целые решения на этом промежутке: 0; 1, 2, 3, 4
Их сумма равна 10
Ответ: [b]x1 ∈ [2π*k; π + 2π*k]; k ∈ Z[/b]
[b]x2 ∈ (5π/4 + 2π*n; 3π/2 + 2π*n); n ∈ Z[/b]
Сумма целых решений на [0; 2π): [b]10[/b]