Задача 78104 Окружность радиусом 7 касается внешним...

66758a5f4a6eb928f58e676d

8/23/2024 11:58:12 AM

Окружность радиусом 7 касается внешним образом с окружностью радиусом 1 в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, а прямая AK пересекает вторую окружность в точке С.
а) Выберите треугольники, подобные треугольнику AKB.
б) Найдите площадь треугольника BDC.

626fab9a354ab65fb2f43abb

8/26/2024 10:33:12 AM

★

Смотрите Рис. 1.
R = 7, r = 1
а) Треугольник AKB я выделил красным.
Заметим, что отрезки AD и BC проходят через центры окружностей, то есть являются диаметрами.
d1 = AD = 2*7 = 14, d2 = BC = 2*1 = 2
AB - внешняя касательная к обеим окружностям.
Диаметры AD и BC, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной:
AD ⊥ AB, BC ⊥ AB
Значит, они параллельны друг другу:
AD || BC.
То есть ABCD - прямоугольная трапеция с основаниями d1 = 14, d2 = 2
Смотрите Рис. 2.
ABK + KBC = 90°
BAK + KCB = 90°
BAK + KAD = 90°
KBC + KCB = 90°
KAD + KDA = 90°
Из этих сумм следует равенство углов:
BCA = ABK = KCB = KAD
BAC = BAK = KBC = KDA
ABC = BAD = AKB = CKB = AKD = 90°
Треугольники ABC, ABK, BCK, AKD - подобны друг другу по двум углам.

б) Треугольник BDC, площадь которого надо найти, я залил зеленым.
Смотрите Рис. 1 и Рис. 2.
По известной формуле длины общей внешней касательной:
[m]H = AB = \sqrt{O1O2^2 - (R - r)^2} = \sqrt{(R + r)^2 - (R - r)^2} =[/m]
[m]= \sqrt{(7 + 1)^2 - (7 - 1)^2} = \sqrt{8^2 - 6^2} = \sqrt{64 - 36} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}[/m]
Найдем площадь треугольника BDC.
Заметим, что высота этого треугольника - тот же отрезок AB, а основание - BC:
[m]S(BDC) = \frac{a \cdot h}{2} = \frac{BC \cdot AB}{2} = \frac{2 \cdot 2\sqrt{7}}{2} = 2\sqrt{7}[/m]

5f3ea7e3faf909182968ddd9

8/25/2024 7:33:46 AM

Есть решение на сайте: