Задача 78100 Для каждого натурального числа n...
Условие
а) Существует ли такое натуральное число n, что десятичная запись числа n! оканчивается ровно 9 нулями?
б) Существует ли такое натуральное число n, что десятичная запись числа n! оканчивается ровно 23 нулями?
в) Сколько существует натуральных чисел n, меньше 100, для каждого из которых десятичная запись числа n!(100 - n)!, оканчивается ровно 23 нулями?
Решение
Запишем несколько первых факториалов:
1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5040, и т.д.
Как видим, начиная с 5! все факториалы кончаются нулями.
Нули образуются из множителей 2, 5, 10 = 2*5 и их степеней.
Так как множитель 2 встречается очень часто - в каждом четном числе, то фактически количество 0 зависит только от количества 5.
Смотрим: 5! - кончается 1 нулем., и все от 6! до 9! тоже кончаются 1 нулем.
10! - 2 нуля, 15! - 3 нуля, 20! - 4 нуля, 25! - 6 нулей.
Сразу 6 после 4, потому что 25 = 5*5, содержит две 5.
30! - кончается на 7 нулей, 35! - 8 нулей, 40! - 9 нулей.
[b]а) Числа от 40! до 44! кончаются на 9 нулей.[/b]
Смотрим дальше.
45! - 10, 50! - 12, 55! - 13, 60! - 14, 65! - 15, 70! - 16, 75! - 18, 80! - 19, 85! - 20, 90! - 21,
95! - 22, 100! - 24
[b]б) Нет факториалов, которые кончаются на 23 нуля.[/b]
в) Это уже сложнее.
Нам надо найти, сколько существует натуральных чисел меньших 100, для которых запись числа n!*(100 - n)! заканчивается 23 нулями?
Возьмем числа, начиная с 50.
50! оканчивается на 12 нулей. 50!*50! - оканчивается на 12 + 12 = 24 нуля.
55! оканчивается на 13 нулей. 55!*45! - оканчивается на 13 + 10 = 23 нуля.
60! оканчивается на 14 нулей. 60!*40! - оканчивается на 14 + 9 = 23 нуля.
65! оканчивается на 15 нулей. 65!*35! - оканчивается на 15 + 8 = 23 нуля.
70! оканчивается на 16 нулей. 70!*30! - оканчивается на 16 + 7 = 23 нуля.
75! оканчивается на 18 нулей. 75!*25! - оканчивается на 18 + 6 = 24 нуля.
80! оканчивается на 19 нулей. 80!*20! - оканчивается на 19 + 4 = 23 нуля.
85! оканчивается на 20 нулей. 85!*15! - оканчивается на 20 + 3 = 23 нуля.
90! оканчивается на 21 нулей. 90!*10! - оканчивается на 21 + 2 = 23 нуля.
95! оканчивается на 22 нулей. 95!*5! - оканчивается на 22 + 1 = 23 нуля.
Значит, на 23 нуля оканчиваются выражения:
5!*95!, 10!*90!, 15!*85!, 20!*80!, 30!*70!, 35!*65!, 40!*60!, 45!*55!,
45!*55!, 60!*40!, 65!*35!, 70!*30!, 80!*20!, 85!*15!, 90!*10!, 95!*5!
Заметим, что если сдвинуться хотя бы на 1 в ту или иную сторону, то уже не получится.
Например, возьмем такие произведения:
14!*86! - оканчивается на 2 + 20 = 22 нуля.
15!*85! - оканчивается на 3 + 20 = 23 нуля.
16!*84! - оканчивается на 3 + 19 = 22 нуля.
Всего получается 16 выражений.
Ответ: [b]Таких чисел 16: 5, 10, 15, 20, 30, 35, 40, 45, 55, 60, 65, 70, 80, 90, 95.[/b]