Задача 78099 При каких значениях параметра а...

GinaDaVinci

23 августа 2024 г. в 11:59

При каких значениях параметра а уравнение |6 – 2x³| = a·log_4/3(|6 – 2x³|) имеет ровно два решения?

exponenta

25 августа 2024 г. в 06:34

★

Перепишем

$a=\frac{|6-2x^3|}{log_{\frac{4}{3}}|6-2x^3|}$

Замена переменной:
$t=6-2x^3$

Решаем графически.

Строим два графика:

$y=\frac{|t|}{log_{\frac{4}{3}}|t|}$

$y=a$


Исследуем функцию

$y=\frac{t}{log_{\frac{4}{3}}t}$

при t >0

t ≠ 1

c помощью производной

$y`=\frac{(t)`\cdot log_{\frac{4}{3}}t-t\cdot( log_{\frac{4}{3}}t)`}{log^2_{\frac{4}{3}}t}$

$y`=\frac{(t)`\cdot log_{\frac{4}{3}}t-t\cdot \frac{1}{t\cdot ln\frac{4}{3}}}{log^2_{\frac{4}{3}}t}$


$y`=\frac{ log_{\frac{4}{3}}t-\frac{1}{ ln\frac{4}{3}}}{log^2_{\frac{4}{3}}t}$

$y`=\frac{ log_{\frac{4}{3}}t- log_{\frac{4}{3}}e}{log^2_{\frac{4}{3}}t}$ ⇒ t=e – точка минимума ⇒


$y(e)=\frac{e}{log_{\frac{4}{3}}e}$

$y(e)=e\cdot ln\frac{4}{3}$


Cм. график при t>0; t ≠ 1


В силу симметрии график $y=\frac{|t|}{log_{\frac{4}{3}}|t|}$ получаем из построенного с помощью симметрии относительно оси Оу

Уравнение имеет ровно два решения, если прямая y=a пересекает график ровно в двух точках

⇒ При $a <0$ и $a=e\cdot ln\frac{4}{3}$[/m]

О т в е т. При $a <0$ ; $a=e\cdot ln\frac{4}{3}$[/m]