Задача 78091 Найдите S — площадь фигуры, ограниченной...

66758a5f4a6eb928f58e676d

8/23/2024 11:49:44 AM

Найдите S — площадь фигуры, ограниченной линиями y = -1 * 5^x, x = -2; x = 3 и осью абсцисс. В ответе запишите значение: S * ln 5.

5f282cfba9074b3a3bc0f013

8/23/2024 1:15:55 PM

★

Дано:
Линии, ограничивающие фигуру:
- [m]y = -1 \cdot 5^x[/m]
- [m]x = -2[/m]
- [m]x = 3[/m]
- ось абсцисс (y = 0)

Найти:
Площадь фигуры [m]S[/m], ограниченной этими линиями.

Шаги:
1. Определим границы интеграла. Это [m]x = -2[/m] и [m]x = 3[/m].
2. Напишем выражение для площади [m]S[/m] как определенный интеграл функции [m]y = -1 \cdot 5^x[/m] от [m]-2[/m] до [m]3[/m].
3. Вычислим интеграл.
4. Найдем значение [m]S \cdot \ln 5[/m].

Решение:
1. Фигура ограничена линиями [m]y = 0[/m], [m]x = -2[/m], [m]x = 3[/m] и функцией [m]y = -1 \cdot 5^x[/m].
2. Площадь [m]S[/m] между функцией [m]y = -1 \cdot 5^x[/m] и осью абсцисс (то есть [m]y=0[/m]) для интервала от [m]-2[/m] до [m]3[/m] определена как:
[m] S = \int_{-2}^{3} -1 \cdot 5^x \, dx [/m]

3. Вычислим интеграл:
[m]
\int_{-2}^{3} -1 \cdot 5^x \, dx = -\int_{-2}^{3} 5^x \, dx
[/m]

4. Интеграл от [m]5^x[/m]:
[m]
\int 5^x \, dx = \frac{5^x}{\ln 5} + C
[/m]

5. Подставляем пределы интегрирования:
[m]
-\left[ \frac{5^x}{\ln 5} \right]_{-2}^{3} = -\left( \frac{5^3}{\ln 5} - \frac{5^{-2}}{\ln 5} \right)
[/m]

6. Упрощаем выражение:
[m]
-\left( \frac{125}{\ln 5} - \frac{1}{25 \cdot \ln 5} \right) = -\left( \frac{125}{\ln 5} - \frac{1}{25 \cdot \ln 5} \right)
[/m]
[m]
-\left( \frac{125}{\ln 5} - \frac{1}{25 \cdot \ln 5} \right) = -\left( \frac{125 \cdot 25}{25 \cdot \ln 5} - \frac{1}{25 \cdot \ln 5} \right) = -\left( \frac{3125 - 1}{25 \cdot \ln 5} \right)
[/m]
[m]
-\left( \frac{3124}{25 \cdot \ln 5} \right) = -\left( \frac{124.96}{\ln 5} \right)
[/m]
[m]
-\left( \frac{124.96}{\ln 5} \right)
[/m]

Площадь [m]S[/m]:
[m]
S = \frac{124.96}{\ln 5}
[/m]

7. Значение [m]S \cdot \ln 5[/m]:
[m]
S \cdot \ln 5 = \frac{124.96}{\ln 5} \cdot \ln 5 = 124.96
[/m]

Ответ: 124,96