Задача 78074 ...

_ffeduk

10 августа 2024 г. в 02:57

При каких значениях параметра p уравнение имеет 2 различных решения? (x+p)^ 2 – 2p + 2 = log₂(17 + 15 · |x|/x)

Удачник66

10 августа 2024 г. в 09:21

★

$(x+p)^2 - 2p + 2 = \log_2 (17 + 15 \cdot |x|/x)$
Обратим внимание сначала на правую часть.
Область определения: x ≠ 0
1) Если x < 0, то |x| = –x, тогда:
$\log_2 (17 + 15 \cdot |x|/x) = \log_2 (17 + 15 \cdot (-1)) = \log_2 (17 - 15) = \log_2 (2) = 1$
Подставляем в уравнение:
(x+p)² – 2p + 2 = 1
(x+p)² – 2p + 1 = 0
x² + 2px + p² – 2p + 1 = 0
D/4 = p² – (p² – 2p + 1) = 2p – 1
Так как должно быть два различных корня, то D/4 > 0
2p – 1 > 0
p > 1/2
И при этом по условию должно быть x1 < 0, x2 < 0
x1 = –p – √2p – 1
x2 = –p + √2p – 1
Явно x1 < x2, поэтому достаточно проверить условие:
–p + √2p – 1 < 0
Решаем систему:
{ √2p – 1 < p
{ p > 1/2
Возводим в квадрат:
{ 2p – 1 < p²
{ p > 1/2
Собираем переменные с одной стороны:
{ p² – 2p + 1 > 0
{ p > 1/2
Получаем:
{ (p – 1)² > 0
{ p > 1/2
1 неравенство верно при любом p ≠ 1
Решение 1: p ∈ (1/2; 1) U (1; +oo)

2) Если x > 0, то |x| = x, тогда:
$\log_2 (17 + 15 \cdot |x|/x) = \log_2 (17 + 15 \cdot 1) = \log_2 (17 + 15) = \log_2 (32) = 5$
Подставляем в уравнение:
(x+p)² – 2p + 2 = 5
(x+p)² – 2p – 3 = 0
x² + 2px + p² – 2p – 3 = 0
D/4 = p² – (p² – 2p – 3) = 2p + 3
Так как должно быть два различных корня, то D/4 > 0
2p + 3 > 0
p > –3/2
И при этом по условию должно быть x1 > 0, x2 > 0
x1 = –p – √2p + 3
x2 = –p + √2p + 3
Явно x1 < x2, поэтому достаточно проверить условие:
–p – √2p + 3 > 0
Решаем систему:
{ √2p + 3 < –p
{ p > –3/2
Заметим, что корень – арифметический, то есть неотрицательный.
Поэтому при p > 0 будет:
√2p + 3 < –p < 0
Это неравенство не имеет решений.
Значит, имеет смысл рассматривать только p ∈ (–3/2; 0)
Возводим в квадрат:
{ 2p + 3 < p²
{ p ∈ (–3/2; 0)
Собираем переменные с одной стороны:
{ p² – 2p – 3 > 0
{ p ∈ (–3/2; 0)
Решаем:
{ (p + 1)(p – 3) > 0
{ p ∈ (–3/2; 0)
Получаем:
{ p ∈ (–oo; –1) U (3; +oo)
{ p ∈ (–3/2; 0)
Решение 2: p ∈ (–3/2; –1)

Ответ: (–3/2; –1) U (1/2; 1) U (1; +oo)