Задача 78074 ...
Условие
Решение
Обратим внимание сначала на правую часть.
Область определения: x ≠ 0
1) Если x < 0, то |x| = -x, тогда:
[m]\log_2 (17 + 15 \cdot |x|/x) = \log_2 (17 + 15 \cdot (-1)) = \log_2 (17 - 15) = \log_2 (2) = 1[/m]
Подставляем в уравнение:
(x+p)^2 - 2p + 2 = 1
(x+p)^2 - 2p + 1 = 0
x^2 + 2px + p^2 - 2p + 1 = 0
D/4 = p^2 - (p^2 - 2p + 1) = 2p - 1
Так как должно быть два различных корня, то D/4 > 0
2p - 1 > 0
p > 1/2
И при этом по условию должно быть x1 < 0, x2 < 0
x1 = -p - sqrt(2p - 1)
x2 = -p + sqrt(2p - 1)
Явно x1 < x2, поэтому достаточно проверить условие:
-p + sqrt(2p - 1) < 0
Решаем систему:
{ sqrt(2p - 1) < p
{ p > 1/2
Возводим в квадрат:
{ 2p - 1 < p^2
{ p > 1/2
Собираем переменные с одной стороны:
{ p^2 - 2p + 1 > 0
{ p > 1/2
Получаем:
{ (p - 1)^2 > 0
{ p > 1/2
1 неравенство верно при любом p ≠ 1
Решение 1: p ∈ (1/2; 1) U (1; +oo)
2) Если x > 0, то |x| = x, тогда:
[m]\log_2 (17 + 15 \cdot |x|/x) = \log_2 (17 + 15 \cdot 1) = \log_2 (17 + 15) = \log_2 (32) = 5[/m]
Подставляем в уравнение:
(x+p)^2 - 2p + 2 = 5
(x+p)^2 - 2p - 3 = 0
x^2 + 2px + p^2 - 2p - 3 = 0
D/4 = p^2 - (p^2 - 2p - 3) = 2p + 3
Так как должно быть два различных корня, то D/4 > 0
2p + 3 > 0
p > -3/2
И при этом по условию должно быть x1 > 0, x2 > 0
x1 = -p - sqrt(2p + 3)
x2 = -p + sqrt(2p + 3)
Явно x1 < x2, поэтому достаточно проверить условие:
-p - sqrt(2p + 3) > 0
Решаем систему:
{ sqrt(2p + 3) < -p
{ p > -3/2
Заметим, что корень - арифметический, то есть неотрицательный.
Поэтому при p > 0 будет:
sqrt(2p + 3) < -p < 0
Это неравенство не имеет решений.
Значит, имеет смысл рассматривать только p ∈ (-3/2; 0)
Возводим в квадрат:
{ 2p + 3 < p^2
{ p ∈ (-3/2; 0)
Собираем переменные с одной стороны:
{ p^2 - 2p - 3 > 0
{ p ∈ (-3/2; 0)
Решаем:
{ (p + 1)(p - 3) > 0
{ p ∈ (-3/2; 0)
Получаем:
{ p ∈ (-oo; -1) U (3; +oo)
{ p ∈ (-3/2; 0)
Решение 2: p ∈ (-3/2; -1)
Ответ: (-3/2; -1) U (1/2; 1) U (1; +oo)