Задача 78063 не могу решить уравнение ...
Условие
Решение
Во-первых, нужно sin (x + π/4) привести к sin (2x):
[m]2\sin^2 (x + \frac{\pi}{4}) = (\sqrt{2} \sin (x + \frac{\pi}{4}))^2 = (\sqrt{2} (\sin x \cdot \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \cdot \sin \frac{\pi}{4}))^2 =[/m]
[m]= (\sqrt{2} (\sin x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \cos x \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}))^2 =(\sin x + \cos x )^2 =[/m]
[m] = \sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + \sin (2x)[/m]
Подставляем:
[m]3 \cdot 64^{1 + \sin (2x)} - 200 \cdot 8^{\sin (2x)} + 8 = 0[/m]
[m]3 \cdot 64 \cdot 64^{\sin (2x)} - 200 \cdot 8^{\sin (2x)} + 8 = 0[/m]
[m]192 \cdot (8^2)^{\sin (2x)} - 200 \cdot 8^{\sin (2x)} + 8 = 0[/m]
[m]192 \cdot (8^{\sin (2x)})^2 - 200 \cdot 8^{\sin (2x)} + 8 = 0[/m]
Делаем замену [m]8^{\sin (2x)} = y[/m], получаем квадратное уравнение:
[m]192y^2 - 200y + 8 = 0[/m]
Так как сумма коэффициентов 192 - 200 + 8 = 0, то
[m](y - 1)(192y - 8) = 0[/m]
[m]y1 = 1[/m]
[m]y2 = \frac{8}{192} = \frac{1}{24}[/m]
Решаем эти уравнения по одному, возвращаемся к переменной x:
1) [m]y1 = 1[/m]
[m]8^{\sin (2x)} = 1[/m]
[m]8^{\sin (2x)} = 8^0[/m]
sin (2x) = 0
2x = π*k, k ∈ Z
Общее решение уравнения:
[b]x = π/2*k, k ∈ Z[/b]
На отрезке [π; 2π] будут корни:
[b]x1 = π; x2 = 3π/2; x3 = 2π[/b]
2) [m]y2 = \frac{1}{24}[/m]
[m]8^{\sin (2x)} = \frac{1}{24}[/m]
[m]\sin (2x) = \log_8 \frac{1}{24} = -\log_8 (24) = -\log_8 (8 \cdot 3) = [/m]
[m]= -\log_8 (8) - \log_8 (3) = -1 - \log_8 (3)[/m]
Так как [m]\log_8 (1) = 0; \log_8 (8) = 1[/m], то [m]\log_8 (3) ∈ (0; 1)[/m]
Поэтому [m]-1 - \log_8 (3) < -1[/m]
Так как синус принимает значения [-1; 1], то это уравнение решений не имеет.
Ответ: [b]x = π/2*k, k ∈ Z; x1 = π; x2 = 3π/2; x3 = 2π[/b]