Задача 78028 ...

66991691cc24e82710fae7b6

18 июля 2024 г. в 01:20

sinx < sin2x × cosx

Удачник66

18 июля 2024 г. в 03:24

sin x < sin 2x·cos x
sin x < 2sin x·cos x·cos x
sin x – 2sin x·cos² x < 0
sin x·(1 – 2cos² x) < 0
Если произведение двух чисел меньше 0, то числа имеют разные знаки.

1)
{ sin x < 0
{ 1 – 2cos² x > 0
Решаем:
{ x ∈ (–π + 2π·n; 2π·n); n ∈ Z
{ cos² x < 1/2
Это эквивалентно такой системе:
{ x ∈ (–π + 2π·n; 2π·n); n ∈ Z
{ x ∈ (π/4 + 2π·k; 3π/4 + 2π·k) U (5π/4 + 2π·k; 7π/4 + 2π·k); k ∈ Z
Решение 1 неравенства показано на Рисунке 1 красным.
Решение 2 неравенства показано на Рисунке 1 синим.
Решение системы:
x ∈ (5π/4 + 2π·k; 7π/4 + 2π·k); k ∈ Z

2)
{ sin x > 0
{ 1 – 2cos² x < 0
Решаем:
{ x ∈ (2π·n; π + 2π·n); n ∈ Z
{ cos² x > 1/2
Это эквивалентно такой системе:
{ x ∈ (2π·n; π + 2π·n); n ∈ Z
{ x ∈ (–π/4 + 2π·k; π/4 + 2π·k) U (3π/4 + 2π·k; 5π/4 + 2π·k); k ∈ Z
Решение 1 неравенства показано на Рисунке 2 красным.
Решение 2 неравенства показано на Рисунке 2 синим.
Решение системы:
x ∈ (2π·k; π/4 + 2π·k) U (3π/4 + 2π·k; π + 2π·k); k ∈ Z

Ответ:
(2π·k; π/4 + 2π·k) U (3π/4 + 2π·k; π + 2π·k) U (5π/4 + 2π·k; 7π/4 + 2π·k)