Задача 78012 x^log2(x-2)>x/4...
Условие
Решение
ОДЗ: x > 2
Берем логарифм по основанию 2 от левой и от правой части.
Так как 2 > 1, то функция y = log_2 (x) - возрастающая.
Поэтому при переход к логарифмам знак неравенства остается.
[m]\log_2 (x^{\log_2 (x-2)}) > \log_2 (\frac{x}{4})[/m]
[m]\log_2 (x-2) \cdot \log_2 (x) > \log_2 (x) - \log_2 (4)[/m]
[m]\log_2 (x-2) \cdot \log_2 (x) > \log_2 (x) - 2[/m]
[m]\log_2 (x-2) \cdot \log_2 (x) - \log_2 (x) > - 2[/m]
[m]\log_2 (x) (\log_2 (x-2) - 1) > - 2[/m]
Так как по ОДЗ x > 2, то [m]\log_2 (x) > 1[/m]
Например, при x = 4 будет:
[m]\log_2 (4) (\log_2 (2) - 1) > - 2[/m]
[m]2 (1 - 1) > - 2[/m]
[m]0 > -2[/m] - Подходит.
И ясно, что при любом x > 4 левая часть будет больше 0 и больше -2.
Далее, при x = 3 будет:
[m]\log_2 (3) (\log_2 (1) - 1) > - 2[/m]
[m]\log_2 (3) (0 - 1) > - 2[/m]
[m]-\log_2 (3) > - 2[/m] - тоже подходит.
Значит, [b]x ≥ 3[/b] - это решение.
Но как искать другие решения, на промежутке (2; 3), я не знаю.