Задача 78001 Числа а1, а2,..., а20 образуют...
Условие
Решение
a(n) = a(n-1) + d
{ a1^2+a3^2+a5^2+a7^2+a9^2+a11^2+a13^2+a15^2+a17^2+a19^2 = 1330
{ a2^2+a4^2+a6^2+a8^2+a10^2+a12^2+a14^2+a16^2+a18^2+a20^2 = 1540
{ a10 + a11 = 21
Из третьего уравнения:
a1 + 9d + a1 + 10d = 21
2*a1 + 19d = 21
[m]d = \frac{21-2a1}{19} = \frac{19+2-2a1}{19} = 1 + \frac{2-2a1}{19} = 1 + \frac{2(1-a1)}{19}[/m]
Если d - целое, то выражение 1 - a1 должно нацело делиться на 19.
Очевидное решение:
a1 = 1, тогда [m]d = 1 + \frac{2(1-1)}{19} = 1 + 0 = 1[/m]
Но, если a1 = 1 и d = 1, то прогрессия - это просто натуральный ряд чисел от 1 до 20.
Суммы квадратов это подтверждают:
{ 1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + 19^2 = 1 + 9 + 25 + ... + 361 = 1330
{ 2^2 + 4^2 + 6^2 + ... + 20^2 = 4 + 16 + 36 + ... + 400 = 1540
Разность этой прогрессии
[b]d = 1[/b]
Другое решение, например, 1 - a1 = -19, тогда a1 = 20, [m]d = 1 + \frac{2(-19)}{19} = 1 - 2 = -1[/m]
Дает тот же самый ряд, но наоборот: a1 = 20, a20 = 1
Но тогда суммы квадратов тоже будут наоборот:
{ a1^2 + a3^2 + a5^2 + ... + a19^2 = 20^2 + 18^2 + 16^2 + ... + 2^2 = 1540
{ a2^2 + a4^2 + a6^2 + ... + a20^2 = 19^2 + 17^2 + 15^2 + ... + 1^2 = 1330
Нам это не подходит.
Третье решение: 1 - a1 = 19, тогда a1 = -18; [m]d = 1 + \frac{2 \cdot 19}{19} = 1 + 2 = 3[/m]
{ a1^2 + a3^2 + a5^2 + ... + a19^2 = (-18)^2 + (-12)^2 + (-6)^2 + ... + 36^2 = 3780
{ a2^2 + a4^2 + a6^2 + ... + a20^2 = (-15)^2 + (-9)^2 + (-3)^2 + ... + 39^2 = 4410
Что нас тем более не устраивает.
Очевидно, что чем больше по модулю будет a1, тем больше будут суммы квадратов.
Ответ: [b]d = 1[/b]