Задача 77978 Решить неравенство 2 log_3 x-log_1/3...

Елена-Алексеевна_295929291

10 июня 2024 г. в 08:03

Решить неравенство 2 log₃ x–log₁/3 (4–x)<=log₃(x–1)²+2log₉(10–x)

Удачник66

20 июля 2024 г. в 10:20

★

$2\log_3 x - \log_{1/3} (4-x) ≤ \log_3 (x-1)^2 + 2\log_9 (10-x)$
Область определения функции логарифма:
{ x > 0
{ 4 – x > 0
{ (x – 1)² > 0
{ 10 – x > 0
Решаем:
{ x > 0
{ x < 4
{ x ≠ 1
{ x < 10
Получаем:
x ∈ (0; 1) U (1; 4)

Приведем все основания логарифмов к одному основанию 3:
$\log_{1/3} (4-x) = -\log_3 (4-x);\ \ \ \log_9 (10-x) = \frac{1}{2} \cdot \log_3 (10-x);$
$2\log_9 (10-x) = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \log_3 (10-x) = \log_3 (10-x);\ \ \ 2\log_3 x = \log_3 x^2$
Подставляем:
$\log_3 x^2 + \log_3 (4-x) ≤ \log_3 (x-1)^2 + \log_3 (10-x)$
Сумма логарифмов равна логарифму произведения:
$\log_3 (x^2(4-x)) ≤ \log_3 ((x-1)^2(10-x))$
Так как 3 > 1, то функция log₃(x) – возрастающая.
Чем больше выражение под логарифмом, тем больше сам логарифм.
Это значит, что при переходе от логарифмов к выражениям под логарифмами знак неравенства не изменится.
x²(4 – x) ≤ (x² – 2x + 1)(10 – x)
4x² – x³ ≤ 10x² – 20x + 10 – x³ + 2x² – x
0 ≤ 10x² – 4x² + 2x² – 20x – x + 10
8x² – 21x + 10 ≥ 0
D = (–21)² – 4·8·10 = 441 – 320 = 121 = 11²
x1 = (21 – 11)/16 = 10/16 = 5/8
x2 = (21 + 11)/16 = 32/16 = 2
Решение этого квадратного неравенства:
x ∈ (–oo; 5/8] U [2; +oo)
С учетом области определения решение исходного неравенства:
x ∈ (0; 5/8] U [2; 4)