Задача 77963 Исследовать экстремум функции...

666a2a7f0d55c3607495d57d

12 июня 2024 г. в 11:09

Исследовать экстремум функции z=x³+xy²+9xy

626fab9a354ab65fb2f43abb

16 июля 2024 г. в 06:16

★

z = x³ + xy² + 9xy
Необходимое условие экстремума. Все частные производные должны равняться 0.
{ dz/dx = 3x² + y² + 9y = 0
{ dz/dy = 2xy + 9x = 0
Из 2 уравнения получаем варианты:
2xy + 9x = x(2y + 9) = 0
1) x = 0, тогда в 1 уравнении:
3·0² + y² + 9y = 0
y(y + 9) = 0
y1 = 0; z(0; 0) = 0³ + 0·0² + 9·0·0 = 0
y2 = –9; z(0; –9) = 0³ + 0(–9)² + 9·0·(–9) = 0
M1(0; 0; 0); M2(0; –9; 0)

2) 2y + 9 = 0; y = –9/2 = –4,5, тогда из 1 уравнения:
3x² + (–4,5)² + 9(–4,5) = 0
3x² + 20,25 – 41,5 = 0
3x² = 20,25
x² = 6,75
x1 = –√6,75; z(–√6,75; –4,5) ≈ 35
x2 = √6,75; z(√6,75; –4,5) ≈ –35
M3(–√6,75; –4,5; 35); M4(√6,75; –4,5; –35)

Получили 4 критические точки.
Достаточное условие экстремума. Находим вторые производные:
A = d²z/dx² = 6x
B = d²z/(dxdy) = 2y + 9
C = d²z/dy² = 2x
D = A·C – B² = 6x·2x – (2y + 9)² = 12x² – (2y + 9)²
Проверяем в каждой точке значения A и D:
A(M1) = 6·0 = 0
D(M1) = 12x² – (2y + 9)² = 12·0² – (2·0 + 9)² = 0 – 9² < 0
В этой точке экстремума нет.

A(M2) = 6·0 = 0
D(M2) = 12x² – (2y + 9)² = 12·0² – (2·(–9) + 9)² = 0 – (–9)² < 0
В этой точке экстремума нет.

A(M3) = 6·(–√6,75) = –6·√6,75 < 0
D(M3) = 12x² – (2y + 9)² = 12·6,75 – (2·(–4,5) + 9)² = 12·6,75 – 0² > 0
Это точка максимума.

A(M4) = 6·√6,75 > 0
D(M3) = 12x² – (2y + 9)² = 12·6,75 – (2·(–4,5) + 9)² = 12·6,75 – 0² > 0
Это точка минимума.