Задача 77963 Исследовать экстремум функции...
Условие
Решение
Необходимое условие экстремума. Все частные производные должны равняться 0.
{ dz/dx = 3x^2 + y^2 + 9y = 0
{ dz/dy = 2xy + 9x = 0
Из 2 уравнения получаем варианты:
2xy + 9x = x(2y + 9) = 0
1) x = 0, тогда в 1 уравнении:
3*0^2 + y^2 + 9y = 0
y(y + 9) = 0
y1 = 0; z(0; 0) = 0^3 + 0*0^2 + 9*0*0 = 0
y2 = -9; z(0; -9) = 0^3 + 0(-9)^2 + 9*0*(-9) = 0
[b]M1(0; 0; 0); M2(0; -9; 0)[/b]
2) 2y + 9 = 0; y = -9/2 = -4,5, тогда из 1 уравнения:
3x^2 + (-4,5)^2 + 9(-4,5) = 0
3x^2 + 20,25 - 41,5 = 0
3x^2 = 20,25
x^2 = 6,75
x1 = -sqrt(6,75); z(-sqrt(6,75); -4,5) ≈ 35
x2 = sqrt(6,75); z(sqrt(6,75); -4,5) ≈ -35
[b]M3(-sqrt(6,75); -4,5; 35); M4(sqrt(6,75); -4,5; -35)[/b]
Получили 4 критические точки.
Достаточное условие экстремума. Находим вторые производные:
A = d^2z/dx^2 = 6x
B = d^2z/(dxdy) = 2y + 9
C = d^2z/dy^2 = 2x
D = A*C - B^2 = 6x*2x - (2y + 9)^2 = 12x^2 - (2y + 9)^2
Проверяем в каждой точке значения A и D:
A(M1) = 6*0 = 0
D(M1) = 12x^2 - (2y + 9)^2 = 12*0^2 - (2*0 + 9)^2 = 0 - 9^2 < 0
В этой точке экстремума нет.
A(M2) = 6*0 = 0
D(M2) = 12x^2 - (2y + 9)^2 = 12*0^2 - (2*(-9) + 9)^2 = 0 - (-9)^2 < 0
В этой точке экстремума нет.
A(M3) = 6*(-sqrt(6,75)) = -6*sqrt(6,75) < 0
D(M3) = 12x^2 - (2y + 9)^2 = 12*6,75 - (2*(-4,5) + 9)^2 = 12*6,75 - 0^2 > 0
Это точка максимума.
A(M4) = 6*sqrt(6,75) > 0
D(M3) = 12x^2 - (2y + 9)^2 = 12*6,75 - (2*(-4,5) + 9)^2 = 12*6,75 - 0^2 > 0
Это точка минимума.