Задача 77938 составить уравнение плоскости,...

668153e8cc24e82710fadf96

6/30/2024 12:51:08 PM

составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(2, -1, 2) и прямую (x-2)/2=(y+2)/4=z/1

626fab9a354ab65fb2f43abb

6/30/2024 2:49:13 PM

★

A(2; -1; 2); прямая (x - 2)/2 = (y + 2)/4 = z/1
Найдем на прямой две точки.
Одну найти очень просто: B(2; -2; 0)
Чтобы найти вторую, возьмем, например, z = 1, получаем:
(x - 2)/2 = (y + 2)/4 = 1/1
(x - 2)/2 = (y + 2)/4 = 1
{ (x - 2)/2 = 1
{ (y + 2)/4 = 1
Решаем:
{ x - 2 = 2
{ y + 2 = 4
Получаем:
{ x = 4
{ y = 2
Вторая точка: C(4; 2; 1)

Теперь составляем уравнение плоскости по трем точкам:
A(2; -1; 2); B(2; -2; 0); C(4; 2; 1)
[m]\begin{vmatrix}
x - 2 & y + 1 & z - 2 \\
2 - 2 & -2 + 1 & 0 - 2 \\
4 - 2 & 2 + 1 & 1 - 2 \\
\end{vmatrix} = 0[/m]

[m]\begin{vmatrix}
x - 2 & y + 1 & z - 2 \\
0 & -1 & -2 \\
2 & 3 & -1 \\
\end{vmatrix} = 0[/m]

(x-2)(-1)(-1) + (y+1)*2(-2) + (z-2)*0*3 - (x-2)*3(-2) - (y+1)*0(-1) - (z-2)(-1)*2 = 0
x - 2 - 4(y + 1) + 0(z - 2) + 6(x - 2) - 0(y + 1) + 2(z - 2) = 0
x - 2 - 4y - 4 + 6x - 12 + 2z - 4 = 0
7x - 4y + 2z - 22 = 0