Задача 77938 составить уравнение плоскости,...

Абдул_758954592

30 июня 2024 г. в 12:51

составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(2, –1, 2) и прямую (x–2)/2=(y+2)/4=z/1

Удачник66

30 июня 2024 г. в 02:49

★

A(2; –1; 2); прямая (x – 2)/2 = (y + 2)/4 = z/1
Найдем на прямой две точки.
Одну найти очень просто: B(2; –2; 0)
Чтобы найти вторую, возьмем, например, z = 1, получаем:
(x – 2)/2 = (y + 2)/4 = 1/1
(x – 2)/2 = (y + 2)/4 = 1
{ (x – 2)/2 = 1
{ (y + 2)/4 = 1
Решаем:
{ x – 2 = 2
{ y + 2 = 4
Получаем:
{ x = 4
{ y = 2
Вторая точка: C(4; 2; 1)

Теперь составляем уравнение плоскости по трем точкам:
A(2; –1; 2); B(2; –2; 0); C(4; 2; 1)
[m]\begin{vmatrix}
x - 2 & y + 1 & z - 2 \\
2 - 2 & -2 + 1 & 0 - 2 \\
4 - 2 & 2 + 1 & 1 - 2 \\
\end{vmatrix} = 0[/m]

[m]\begin{vmatrix}
x - 2 & y + 1 & z - 2 \\
0 & -1 & -2 \\
2 & 3 & -1 \\
\end{vmatrix} = 0[/m]

(x–2)(–1)(–1) + (y+1)·2(–2) + (z–2)·0·3 – (x–2)·3(–2) – (y+1)·0(–1) – (z–2)(–1)·2 = 0
x – 2 – 4(y + 1) + 0(z – 2) + 6(x – 2) – 0(y + 1) + 2(z – 2) = 0
x – 2 – 4y – 4 + 6x – 12 + 2z – 4 = 0
7x – 4y + 2z – 22 = 0