Задача 77937 (log_{2}(2-x)-log_{2}(x+1))/(log^2_{2)(x^2)+log_{2}(x^4)+1}>=0...

Сергей_235626825

30 июня 2024 г. в 07:52

(log_{2}(2–x)–log_{2}(x+1))/(log²_{2)(x²)+log_{2}(x⁴)+1}>=0

Удачник66

30 июня 2024 г. в 03:20

★

$\frac{\log_2 (2-x) - \log_2 (x+1)}{\log_2^2 x^2 + \log_2 x^4 + 1} ≥ 0$
Область определения функции логарифма:
{ 2 – x > 0
{ x + 1 > 0
{ x ≠ 0
Получаем:
{ x > –1
{ x < 2
{ x ≠ 0
Область определения дроби:
$\log_2^2 x^2 + \log_2 x^4 + 1 ≠ 0$
$(\log_2 x^2)^2 + 2\log_2 x^2 + 1 ≠ 0$
Замена $y = \log_2 x^2$
y² + 2y + 1 ≠ 0
(y + 1)² ≠ 0
y ≠ –1
$\log_2 x^2 ≠ -1$
x² ≠ 2^–1
x² ≠ 1/2
x ≠ ± 1/√2
Итого получаем область определения:
x ∈ (–1; –1/√2) U (–1/√2; 0) U (0; 1/√2) U (1/√2; 2)

Теперь решаем само неравенство.
В знаменателе, как мы уже выяснили, стоит квадрат:
$\log_2^2 x^2 + \log_2 x^4 + 1 = (\log_2 x^2 + 1)^2$
Поэтому он всегда неотрицательный. Значит, числитель тоже неотрицательный.
$\log_2 (2-x) - \log_2 (x+1) ≥ 0$
Разность логарифмов равна логарифму дроби:
$\log_2 \frac{2-x}{x+1} ≥ 0$
$\log_2 \frac{2-x}{x+1} ≥ \log_2 1$
Так как 2 > 1, то функция логарифма по основанию 2 – возрастающая.
Значит, чем больше логарифм, тем больше выражение под логарифмом.
$\frac{2-x}{x+1} ≥ 1$
$\frac{2-x}{x+1} - 1 ≥ 0$
$\frac{2-x - x - 1}{x+1} ≥ 0$
$\frac{1-2x}{x+1} ≥ 0$
x ∈ (–1; 1/2]
1/√2 ≈ 0,707 > 1/2, поэтому с учетом области определения:

Ответ: x ∈ (–1; –1/√2) U (–1/√2; 0) U (0; 1/2]