Задача 77919 Найти производную функций (dy /dx)...
Условие
Решение
Это сложная функция, здесь три функции одна в другой.
y = ln u; u = tg v; v = √x
y' = (ln u)'·u'(v)·v'(x)
[m]y = \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{\cos^2 v} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{tg \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\cos^2 \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sin \sqrt{x} \cos \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} =[/m]
[m]= \frac{2}{2\sin \sqrt{x} \cos \sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{2}{\sin (2\sqrt{x})} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{\sin (2\sqrt{x}) \cdot \sqrt{x}}[/m]
б) [m]y = (arctg\ x)^{\sin 2x}[/m]
Здесь имеет смысл взять логарифм от функции:
[m]\ln y = \ln (arctg\ x)^{\sin 2x} = \sin 2x \cdot \ln (arctg\ x)[/m]
Берем производную от неявной функции, помня, что y = y(x):
[m]\frac{1}{y} \cdot y' = 2\cos 2x \cdot \ln (arctg\ x) + \sin 2x \cdot \frac{1}{arctg\ x} \cdot \frac{1}{1+x^2}[/m]
[m]y' = y(2\cos 2x \cdot \ln (arctg\ x) + \sin 2x \cdot \frac{1}{arctg\ x} \cdot \frac{1}{1+x^2}) = [/m]
[m]= (arctg\ x)^{\sin 2x}(2\cos 2x \cdot \ln (arctg\ x) + \frac{\sin 2x}{arctg\ x} \cdot \frac{1}{1+x^2})[/m]
в) Функция задана параметрически:
{ x = 1 + cos t
{ y = 1 – sin t
Берем производные x'(t) = dx/dt и y'(t) = dy/dt
{ dx/dt = – sin t
{ dy/dt = – cos t
[m]y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} : \frac{dx}{dt} = \frac{-\cos t}{-\sin t} = ctg\ t[/m]