Задача 77912 Найдите промежутки возрастания,...

667c0cba4a6eb928f58e6b3a

26 июня 2024 г. в 04:49

Найдите промежутки возрастания, убывания, точки экстремума и экстремумы функции:

626fab9a354ab65fb2f43abb

26 июня 2024 г. в 06:54

★

f(x) = 2x³ – 3x² – 120x + 7
Экстремумы – это точки, в которых производная равна 0 или не существует.
f'(x) = 2·3x² – 3·2x – 120 = 6x² – 6x – 120 = 0
6(x² – x – 20) = 0
6(x – 5)(x + 4) = 0
x1 = –4
f(–4) = 2(–4)³ – 3(–4)² – 120(–4) + 7 = –2·64 – 3·16 + 480 + 7 = 311.
x2 = 5
f(5) = 2·5³ – 3·5² – 120·5 + 7 = 2·125 – 3·25 – 600 + 7 = –418.
При x < –4, например, при x = –5 будет f'(x) = 6(–5–5)(–5+4) = 6(–10)(–1) = 6 > 0
При x ∈ (–4; 5), например, при x = 0 будет f'(x) = 6(0–5)(0+4) = 6(–5)·4 = –120 < 0
При x > 5, например, при x = 6, будет: f'(x) = 6(6–5)(6+4) = 6·1·10 = 60 > 0
Промежутки возрастания: x ∈ (–oo; –4) U (5; +oo)
Промежутки убывания: x ∈ (–4; 5)
Значит, x = –4 – точка максимума, x = 5 – точка минимума.