Задача 77900 Найти объем параллелепипеда,...

просто хороший человек

25 июня 2024 г. в 09:03

Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах

Удачник66

26 июня 2024 г. в 08:31

★

a(1; –2; 1); b(3; 2; 1); c(1; 0; –1)
Найдем длину каждого вектора:
|a| = √1² + (–2)² + 1² = √1 + 4 + 1 = √6
|b| = √3² + 2² + 1² = √9 + 4 + 1 = √14
|c| = √1² + 0² + (–1)² = √1 + 0 + 1 = √2
Найдем углы между векторами:
$\cos (a; b) = \frac{x(a) \cdot x(b) + y(a) \cdot y(b) + z(a) \cdot z(b)}{|a| \cdot |b|} = \frac{1 \cdot 3 + (-2) \cdot 2 + 1 \cdot 1}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{14}} = \frac{3 - 4 + 1}{\sqrt{84}} = 0$
cos (a; b) = 0, значит, ∠ (a; b) = π/2
В основании параллелепипеда лежит прямоугольник, значит, площадь основания:
S(осн) = |a|·|b| = √6·√14 = √84
$\cos (b; c) = \frac{x(b) \cdot x(c) + y(b) \cdot y(c) + z(b) \cdot z(c)}{|b| \cdot |c|} = \frac{3 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot (-1)}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{2}} = \frac{3 + 0 - 1}{\sqrt{28}} = \frac{2}{\sqrt{28}} = \frac{1}{\sqrt{7}}$
$\sin (b;c) = \sqrt{1 - \cos^2 (b;c)} = \sqrt{1 - \frac{1}{7}} = \sqrt{\frac{6}{7}} = \frac{\sqrt{42}}{7}$
Высота параллелепипеда равна боковому ребру, умноженному на синус угла:
$H = |c| \cdot \sin (b;c) = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{42}}{7} = \frac{\sqrt{84}}{7}$

Объем параллелепипеда:
V = S(осн)·H = √84·√84/7 = 84/7 = 12

Ответ: 12