Задача 77887 ...

просто хороший человек

23 июня 2024 г. в 08:58

Найти длину дуги. Функция: у=lnsinx, π/6≤x≤π/2

Удачник66

24 июня 2024 г. в 09:13

★

y = ln (sin x); π/6 ≤ x ≤ π/2
Я не уверен, но кажется, длину криволинейной дуги нужно искать так:
$L = \int \limits_{\pi/6}^{\pi/2} \sqrt{1+(y'(x))^2} dx$
$y'(x) = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = ctg\ x$
$L = \int \limits_{\pi/6}^{\pi/2} \sqrt{1+ctg^2\ x} dx = \int \limits_{\pi/6}^{\pi/2} \sqrt \frac{1}{\sin^2 x} dx = \int \limits_{\pi/6}^{\pi/2} \frac{1}{\sin x} dx =$
$= \ln |tg\ \frac{x}{2}|\ |_{\pi/6}^{\pi/2} = \ln tg\ \frac{\pi}{4} - \ln tg\ \frac{\pi}{12} = \ln 1 - \ln tg\ \frac{\pi}{12} = -\ln tg\ \frac{\pi}{12}$
Можно оставить так, а можно вычислить:
$tg \frac{\pi}{12} = \frac{\sin \pi/6}{1 + \cos \pi/6} = \frac{1}{2} : (1+ \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{2} : \frac{2+\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2+\sqrt{3}}$
$L = -\ln tg\ \frac{\pi}{12} = -\ln \frac{1}{2+\sqrt{3}} = \ln (2+\sqrt{3}) ≈ 1,317$

Ответ: L = ln (2 + √3) ≈ 1,317