Задача 77886 Первый диффур (ЛНДУ) : у''-2у'-3у=(8х+4)...
Условие
Второй диффур(однородное) : ху'-у=2*корень из (х^2+у^2)
Решение
Линейное неоднородное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами.
Решаем однородное уравнение:
y'' - 2y' - 3y = 0
Характеристическое уравнение:
k^2 - 2k - 3 = 0
(k - 3)(k + 1) = 0
k1 = -1; k2 = 3
y(o) = C1*e^(-x) + C2*e^(3x)
Ищем частное решение неоднородного уравнения.
Один из корней характеристического уравнения k1 = -1, поэтому в решении однородного уравнения есть e^(-x), и в правой части тоже e^(-x), Поэтому:
y(н) = x*(Ax + B)*e^(-x) = (Ax^2 + Bx)*e^(-x)
y(н)' = (2Ax + B)*e^(-x) - (Ax^2 + Bx)*e^(-x) = (-Ax^2 - Bx + 2Ax + B)*e^(-x) =
= (-Ax^2 + 2Ax - Bx + B)*e^(-x)
y(н)'' = (-2Ax - B + 2A)*e^(-x) - (-Ax^2 - Bx + 2Ax + B)*e^(-x) =
= (Ax^2 + 2Ax - Bx + B - 2Ax - B + 2A)*e^(-x) = (Ax^2 - Bx + 2A)*e^(-x)
Подставляем в уравнение:
(Ax^2-Bx+2A)*e^(-x) - 2(-Ax^2+2Ax-Bx+B)*e^(-x) - 3(Ax^2+Bx)*e^(-x) = (8x+4)*e^(-x)
Сокращаем e^(-x):
Ax^2 - Bx + 2A + 2Ax^2 - 4Ax + 2Bx - 2B - 3Ax^2 - 3Bx = 8x + 4
Раскрываем скобки:
- 4Ax - 2Bx + 2A - 2B = 8x + 4
Сокращаем на 2:
- 2Ax - Bx + A - B = 4x + 2
Составляем систему по коэффициентам:
{ -2A - B = 4
{ A - B = 2
Умножаем 2 уравнение на -1:
{ -2A - B = 4
{ - A + B = -2
Складываем уравнения:
-3A = 2
A = -2/3
B = A - 2 = -2/3 - 6/3 = -8/3
y(н) = (-2/3*x^2 - 8/3*x)*e^(-x)
Общее решение неоднородного уравнения:
y(x) = y(o) + y(н) = C1*e^(-x) + C2*e^(3x) + (-2/3*x^2 - 8/3*x)*e^(-x)
2) xy' - y = 2sqrt(x^2 + y^2)
y' - y/x = 2sqrt(x^2 + y^2)/x
y' - y/x = 2sqrt((x^2 + y^2)/x^2)
y' - y/x = 2sqrt(1 + y^2/x^2)
Это однородное уравнение 1 порядка, решается заменой:
t = y/x; y = tx; y' = t'x + t
t'x + t - t = 2sqrt(1 + t^2)
t'x = 2sqrt(1 + t^2)
Это уравнение с разделяющимися переменными:
[m]\frac{dt}{dx} \cdot x = 2\sqrt{1 + t^2}[/m]
[m]\frac{dt}{\sqrt{1 + t^2}} = \frac{2dx}{x}[/m]
Берем интегралы от левой и правой части, они оба табличные:
[m]\int \frac{dt}{\sqrt{1 + t^2}} = \int \frac{2dx}{x}[/m]
[m]\ln |t + \sqrt{1 + t^2}| = 2\ln |x| + \ln |C|[/m]
[m]\ln |t + \sqrt{1 + t^2}| = \ln |Cx^2|[/m]
[m]t + \sqrt{1 + t^2} = Cx^2[/m]
[m]\frac{y}{x} + \sqrt{1 + \frac{y^2}{x^2}} = Cx^2[/m]
[m]\frac{y}{x} + \sqrt{\frac{x^2+y^2}{x^2}} = Cx^2[/m]
[m]\frac{y}{x} + \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{x} = Cx^2[/m]
[m]y + \sqrt{x^2+y^2} = Cx^3[/m]
В таком неявном виде лучше и оставить.
Получить явный вид y = f(x) в данном случае невозможно.