Задача 77884 Найти общее решение (общий интеграл)...

wooooow

23 июня 2024 г. в 08:01

Найти общее решение (общий интеграл) дифферен–циального уравнения.

Удачник66

23 июня 2024 г. в 01:44

★

$2xyy' = 1 - x^2$
Уравнение с разделяющимися переменными:
$yy' = \frac{1-x^2}{2x}$
$y \cdot \frac{dy}{dx} = -\frac{x^2-1}{2x}$
$y dy = -\frac{x^2-1}{2x} dx$
Берем интегралы от левой и правой частей:
$\int y dy = \frac{y^2}{2}$
$\int (-\frac{x^2-1}{2x}) dx = -\frac{1}{2} \int \frac{x^2-1}{x} dx = -\frac{1}{2} \int (x - \frac{1}{x}) dx = -\frac{1}{2} (\frac{x^2}{2} - \ln |x| - C)$
Подставляем:
$\frac{y^2}{2} = -\frac{1}{2} (\frac{x^2}{2} - \ln |x| - C)$
$y^2 = \ln |x| - \frac{x^2}{2} + C$