Задача 77883 Найти вторые частные производные...
Условие
Решение
Производные 1 порядка:
[m]z'_{x} = \frac{dz}{dx} = \cos \sqrt{x^3y} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^3y}} \cdot 3x^2y = \cos \sqrt{x^3y} \cdot \frac{3x^2y}{2x\sqrt{xy}} = \frac{3}{2} \cdot \cos \sqrt{x^3y} \cdot \sqrt{xy}[/m]
[m]z'_{y} = \frac{dz}{dy} = \cos \sqrt{x^3y} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^3y}} \cdot x^3 = \cos \sqrt{x^3y} \cdot \frac{x^3}{2\sqrt{x^3y}} = \frac{1}{2} \cdot \cos \sqrt{x^3y} \cdot \frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{y}}[/m]
Производные 2 порядка:
[m]z''_{xx} = \frac{d^2z}{dx^2} = (\frac{3}{2} \cdot \cos \sqrt{x^3y} \cdot \sqrt{xy})'_{x} = [/m]
[m]= \frac{3}{2}(-\sin \sqrt{x^3y} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^3y}} \cdot 3x^2y \cdot \sqrt{xy} + \cos \sqrt{x^3y} \cdot \frac{1}{2\sqrt{xy}} \cdot y) =[/m]
[m]= \frac{3}{2}(-\frac{3}{2} \cdot \sin \sqrt{x^3y} \cdot \frac{x^2y \sqrt{xy}}{\sqrt{x^3y}} + \frac{1}{2} \cdot \cos \sqrt{x^3y} \cdot \frac{y}{\sqrt{xy}}) =[/m]
[m]= -\frac{9}{4}\cdot \sin \sqrt{x^3y} \cdot xy + \frac{3}{4} \cdot \cos \sqrt{x^3y} \cdot \frac{\sqrt{xy}}{x}[/m]
[m]z''_{xy} = \frac{d^2z}{dxdy} = (\frac{3}{2} \cdot \cos \sqrt{x^3y} \cdot \sqrt{xy})'_{y} = [/m]
[m]= \frac{3}{2}(-\sin \sqrt{x^3y} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^3y}} \cdot x^3 \cdot \sqrt{xy} + \cos \sqrt{x^3y} \cdot \frac{1}{2\sqrt{xy}} \cdot x) =[/m]
[m]= \frac{3}{2}(- \frac{1}{2} \cdot \sin \sqrt{x^3y} \cdot \frac{x^3 \sqrt{xy}}{\sqrt{x^3y}} + \frac{1}{2} \cdot \cos \sqrt{x^3y} \cdot \frac{x}{\sqrt{xy}}) =[/m]
[m]= -\frac{3}{4} \cdot \sin \sqrt{x^3y} \cdot x^2 + \frac{3}{4} \cdot \cos \sqrt{x^3y} \cdot \frac{\sqrt{xy}}{y}) =[/m]
[m]z''_{yx} = \frac{d^2z}{dydx} = (\frac{1}{2} \cdot \cos \sqrt{x^3y} \cdot \frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{y}})'_{x} =[/m]
[m]= \frac{1}{2} \cdot (-\sin \sqrt{x^3y} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^3y}} \cdot 3x^2y \cdot \frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{y}} + \cos \sqrt{x^3y} \cdot \frac{3/2 \cdot x^{1/2}}{\sqrt{y}}) = [/m]
[m]= -\frac{3}{4} \cdot \sin \sqrt{x^3y} \cdot \frac{x^2y\sqrt{x^3}}{\sqrt{x^3y}\sqrt{y}} + \frac{3}{4} \cdot \cos \sqrt{x^3y} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} = [/m]
[m]= -\frac{3}{4} \cdot \sin \sqrt{x^3y} \cdot x^2 + \frac{3}{4} \cdot \cos \sqrt{x^3y} \cdot \frac{\sqrt{xy}}{y} = [/m]
Таким образом, мы доказали, что [m]z''_{xy} = z''_{yx}[/m]
[m]z''_{yy} = \frac{d^2z}{dy^2} = (\frac{1}{2} \cdot \cos \sqrt{x^3y} \cdot \frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{y}})'_{y} =[/m]
[m]=\frac{1}{2} (-\sin \sqrt{x^3y} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x^3y}} \cdot \sqrt{x^3} \cdot \frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{y}} + \cos \sqrt{x^3y} \cdot \sqrt{x^3} \cdot (-\frac{1}{2}) y^{-3/2}) =[/m]
[m]=\frac{1}{2} (-\frac{1}{2} \cdot \sin \sqrt{x^3y} \cdot \frac{\sqrt{x^3}\sqrt{x^3}}{\sqrt{x^3y}\sqrt{y}} - \frac{1}{2} \cdot \cos \sqrt{x^3y} \cdot \frac{\sqrt{x^3}}{\sqrt{y^3}}) =[/m]
[m]=- \frac{1}{4} \cdot \sin \sqrt{x^3y} \cdot \frac{\sqrt{x^3}}{y} - \frac{1}{4} \cdot \cos \sqrt{x^3y} \cdot \frac{\sqrt{x^3y}}{y^2}[/m]