Задача 77881 Найти уравнения касательной плоскости и...
Условие
Решение
Перепишем уравнение поверхности в неявном виде так:
F(x, y, z) = 4y^2 - z^2 + 4xy - xz + 3z - 9 = 0
Уравнение касательной плоскости:
[m]F'_{x}(M0)(x - x0) + F'_{y}(M0)(y - y0) + F'_{z}(M0)(z - z0) = 0[/m]
Находим частные производные:
[m]F'_{x} = 4y - z;\ \ \ F'_{x}(M0) = 4(-2) - 1 = -9[/m]
[m]F'_{y} = 8y + 4x;\ \ \ F'_{y}(M0) = 8(-2) + 4 = -12[/m]
[m]F'_{z} = -2z - x + 3\ \ \ F'_{z}(M0) = -2 - 1 + 3 = 0[/m]
Уравнение касательной плоскости:
[m]-9(x - 1) - 12(y + 2) + 0(z - 1) = 0[/m]
[m]-9x + 9 - 12y - 24 + 0 = 0[/m]
[m]0 = 9x + 12y + 15[/m]
[m]3x + 4y + 5 = 0[/m]
Нормаль - это прямая, перпендикулярная к плоскости в данной точке M0.
Ее каноническое уравнение:
[m]\frac{x - x0}{m} = \frac{y - y0}{n} = \frac{z - z0}{p}[/m]
Где m, n, p - это коэффициенты при x, y, z у плоскости.
Каноническое уравнение нормали в нашем случае:
[m]\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 2}{4} = \frac{z - 1}{0}[/m]
В данном случае деление на 0 - законно!
Оно означает, что нормаль перпендикулярна оси Oz и пересекает ее в точке (0; 0; 1).