Задача 77878 Дан правильный тетраэдр ABCD, и пусть...

63b55b6c61079b77ceefa2dd

6/22/2024 1:21:04 PM

Дан правильный тетраэдр ABCD, и пусть [m] \vec{e_1} = \vec{AB}, \vec{e_2} = \vec{AC}, \vec{e_3} = \vec{AD} [/m]. Найти угол между векторами [m] \vec{p} и \vec{q}, где \vec{p} = \vec{e_1} + \vec{e_2} - \vec{e_3}, \vec{q} = \vec{e_2} - 2\vec{e_1} [/m]

5f3ea7e3faf909182968ddd9

6/22/2024 4:33:29 PM

★

[m] cos ( ∠ \vec{p}, \vec{q})=\frac{\vec{p}\cdot \vec{q}}{|\vec{p}\cdot| \vec{q}|}[/m]

Находим скалярное произведение:

[m]\vec{p}\cdot \vec{q}=(\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}-\vec{e_{3}})\cdot (\vec{e_{2}}-2\vec{e_{1}})= [/m]

векторная АЛГЕБРА, поэтому как в алгебре раскрываем скобки:

[m]=\vec{e_{1}}\cdot \vec{e_{2}}+\vec{e_{2}}\cdot \vec{e_{2}}-\vec{e_{3}}\cdot\vec{e_{2}}+\vec{e_{1}}\cdot (-2\vec{e_{1}})+\vec{e_{2}}\cdot (-2\vec{e_{1}})+(-\vec{e_{3}})\cdot (-2\vec{e_{1}})[/m]

[m]\vec{p}\cdot \vec{q}=\frac{1}{2} ( |\vec{e_{1}}|)^2+( |\vec{e_{2}}|)^2- |\vec{e_{1}}|\cdot |\vec{e_{3}}|-2(|\vec{e_{1}}|)^2 -2|\vec{e_{1}}|\cdot |\vec{e_{2}}|+2|\vec{e_{1}}|\cdot |\vec{e_{2}}|=[/m]


так как

скалярный квадрат:

[m]( \vec{e_{1}})^2=|\vec{e_{1}}|\cdot |\vec{e_{1}}|\cdot cos 0^{o}=( |\vec{e_{1}}|)^2[/m] ;

и

[m] |\vec{e_{1}}|= |\vec{e_{2}}|= |\vec{e_{3}}|[/m] ;

пусть

[m] |\vec{e_{1}}|= |\vec{e_{2}}|= |\vec{e_{3}}|=a[/m] ;

скалярное произведение

[m] \vec{e_{1}}\cdot \vec{e_{2}}=|\vec{e_{1}}|\cdot |\vec{e_{1}}|\cdot cos∠ ( \vec{e_{1}},\vec{e_{2}})=( |\vec{e_{1}}|)^2\cdot cos60 °=\frac{1}{2} ( |\vec{e_{1}}|)^2=\frac{1}{2}a^2[/m]

и
[m] \vec{e_{1}}\cdot \vec{e_{3}}=\frac{1}{2}a^2[/m]

[m] \vec{e_{2}}\cdot \vec{e_{3}}=\frac{1}{2}a^2[/m]


то

[m]\vec{p}\cdot \vec{q}=\frac{1}{2}a^2+a^2-a^2-2a^2-2\cdot \frac{1}{2}a^2+2\cdot \frac{1}{2}a^2=\frac{1}{2}a^2[/m]

Аналогично находим

[m]|\vec{p}|^2=(\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}-\vec{e_{3}})\cdot (\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}-\vec{e_{3}})=2a^2[/m] ⇒ [m]|\vec{p}|=a\sqrt{2}[/m]

[m]|\vec{q}|^2=(\vec{e_{2}}-2\vec{e_{1}})\cdot (\vec{e_{2}}-2\vec{e_{1}})=3a^2[/m] ⇒ [m]|\vec{q}| =a\sqrt{3}[/m]


[m] cos ∠ (\vec{p}, \vec{q})=\frac{\frac{1}{2}a^2}{a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{3}}=\frac{1}{2\sqrt{6}}[/m]