Задача 77878 Дан правильный тетраэдр ABCD, и пусть...

vlad05

22 июня 2024 г. в 01:21

Дан правильный тетраэдр ABCD, и пусть $\vec{e_1} = \vec{AB}, \vec{e_2} = \vec{AC}, \vec{e_3} = \vec{AD}$. Найти угол между векторами $\vec{p} и \vec{q}, где \vec{p} = \vec{e_1} + \vec{e_2} - \vec{e_3}, \vec{q} = \vec{e_2} - 2\vec{e_1}$

exponenta

22 июня 2024 г. в 04:33

★

$cos ( ∠ \vec{p}, \vec{q})=\frac{\vec{p}\cdot \vec{q}}{|\vec{p}\cdot| \vec{q}|}$

Находим скалярное произведение:

$\vec{p}\cdot \vec{q}=(\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}-\vec{e_{3}})\cdot (\vec{e_{2}}-2\vec{e_{1}})=$

векторная АЛГЕБРА, поэтому как в алгебре раскрываем скобки:

$=\vec{e_{1}}\cdot \vec{e_{2}}+\vec{e_{2}}\cdot \vec{e_{2}}-\vec{e_{3}}\cdot\vec{e_{2}}+\vec{e_{1}}\cdot (-2\vec{e_{1}})+\vec{e_{2}}\cdot (-2\vec{e_{1}})+(-\vec{e_{3}})\cdot (-2\vec{e_{1}})$

$\vec{p}\cdot \vec{q}=\frac{1}{2} ( |\vec{e_{1}}|)^2+( |\vec{e_{2}}|)^2- |\vec{e_{1}}|\cdot |\vec{e_{3}}|-2(|\vec{e_{1}}|)^2 -2|\vec{e_{1}}|\cdot |\vec{e_{2}}|+2|\vec{e_{1}}|\cdot |\vec{e_{2}}|=$


так как

скалярный квадрат:

$( \vec{e_{1}})^2=|\vec{e_{1}}|\cdot |\vec{e_{1}}|\cdot cos 0^{o}=( |\vec{e_{1}}|)^2$ ;

и

$|\vec{e_{1}}|= |\vec{e_{2}}|= |\vec{e_{3}}|$ ;

пусть

$|\vec{e_{1}}|= |\vec{e_{2}}|= |\vec{e_{3}}|=a$ ;

скалярное произведение

$\vec{e_{1}}\cdot \vec{e_{2}}=|\vec{e_{1}}|\cdot |\vec{e_{1}}|\cdot cos∠ ( \vec{e_{1}},\vec{e_{2}})=( |\vec{e_{1}}|)^2\cdot cos60 °=\frac{1}{2} ( |\vec{e_{1}}|)^2=\frac{1}{2}a^2$

и
$\vec{e_{1}}\cdot \vec{e_{3}}=\frac{1}{2}a^2$

$\vec{e_{2}}\cdot \vec{e_{3}}=\frac{1}{2}a^2$


то

$\vec{p}\cdot \vec{q}=\frac{1}{2}a^2+a^2-a^2-2a^2-2\cdot \frac{1}{2}a^2+2\cdot \frac{1}{2}a^2=\frac{1}{2}a^2$

Аналогично находим

$|\vec{p}|^2=(\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}-\vec{e_{3}})\cdot (\vec{e_{1}}+\vec{e_{2}}-\vec{e_{3}})=2a^2$ ⇒ $|\vec{p}|=a\sqrt{2}$

$|\vec{q}|^2=(\vec{e_{2}}-2\vec{e_{1}})\cdot (\vec{e_{2}}-2\vec{e_{1}})=3a^2$ ⇒ $|\vec{q}| =a\sqrt{3}$


$cos ∠ (\vec{p}, \vec{q})=\frac{\frac{1}{2}a^2}{a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{3}}=\frac{1}{2\sqrt{6}}$