Задача 77877 (x+6) /(x^2-2x+17) Второй интеграл:...

просто хороший человек

22 июня 2024 г. в 12:12

(x+6) /(x²–2x+17)
Второй интеграл: arctg(корень из x)

Удачник66

22 июня 2024 г. в 08:36

★

1) $\int \frac{x+6}{x^2-2x+17}\ dx = \int \frac{1}{2} \cdot \frac{2x+12}{x^2-2x+1 + 16}\ dx = \frac{1}{2} \cdot \int \frac{2x-2+14}{(x-1)^2+4^2}\ dx =$
$=\frac{1}{2} \cdot (\int \frac{2x-2}{x^2-2x+17}\ dx + \int \frac{14}{(x-1)^2+4^2}\ dx)$
1 интеграл берется заменой:
t = x²–2x+17; dt = (2x – 2) dx
2 интеграл табличный.
$\frac{1}{2} \cdot (\int \frac{2x-2}{x^2-2x+17}\ dx + \int \frac{14}{(x-1)^2+4^2}\ dx) = \frac{1}{2} \cdot (\int \frac{dt}{t} + 14 \int \frac{d(x-1)}{(x-1)^2+4^2}) =$
$= \frac{1}{2} \cdot (\ln |t| + \frac{14}{4}\ arctg\ \frac{x-1}{4}) + C = \frac{1}{2} \ln |x^2-2x+17| + \frac{7}{4}\ arctg\ \frac{x-1}{4} + C$

2) $\int arctg\ \sqrt{x}\ dx$
Замена t = √x; x = t²; dx = 2t dt
$\int arctg\ \sqrt{x}\ dx = \int arctg\ t \cdot 2t\ dt = 2\int arctg\ t \cdot t\ dt$
Берем по частям.
u = arctg t; dv = t dt; du = dt/(1 + t²); v = t²/2
$2\int arctg\ t \cdot t\ dt = uv - \int v\ du = \frac{t^2}{2} \cdot arctg\ t - \int \frac{t^2}{2(1+t^2)}\ dt =$
$= \frac{t^2}{2} \cdot arctg\ t - \frac{1}{2} \int \frac{1+t^2-1}{1+t^2}\ dt = \frac{t^2}{2} \cdot arctg\ t - \frac{1}{2} \int (1 - \frac{1}{1+t^2})\ dt =$
$= \frac{t^2}{2} \cdot arctg\ t - \frac{1}{2} (t - arctg\ t) + C =$
$= \frac{x}{2} \cdot arctg\ \sqrt{x} - \frac{1}{2} \sqrt{x} + \frac{1}{2} arctg\ \sqrt{x} + C = \frac{x+1}{2} \cdot arctg\ \sqrt{x} - \frac{1}{2} \sqrt{x} + C$