Задача 77875 Решите неравенство [m] \frac{(x + 5)(x...

66767ac94a6eb928f58e6810

6/22/2024 7:20:45 AM

Решите неравенство

[m]
\frac{(x + 5)(x - 7)}{3x - 1} > 0.
[/m]

5f282cfba9074b3a3bc0f013

6/24/2024 6:21:58 PM

★

1. Определим нули числителя и знаменателя:
[m]
(x + 5) = 0 \rightarrow x = -5
[/m]
[m]
(x - 7) = 0 \rightarrow x = 7
[/m]
[m]
(3x - 1) = 0 \rightarrow x = \frac{1}{3}
[/m]

2. Нанесем на числовую прямую точки [m]-5[/m], [m]\frac{1}{3}[/m] и 7 и разобьем её на промежутки:
[m]
(-\infty, -5), (-5, \frac{1}{3}), (\frac{1}{3}, 7), (7, +\infty)
[/m]

3. Определим знаки выражения на каждом из этих промежутков:
- Выбираем точку из промежутка [m](- \infty, -5)[/m], например [m]x = -6[/m]:
[m]
\frac{(-6 + 5)(-6 - 7)}{3(-6) - 1} = \frac{(-1)(-13)}{-19} = \frac{13}{-19} < 0
[/m]

- Выбираем точку из промежутка [m](-5, \frac{1}{3})[/m], например [m]x = 0[/m]:
[m]
\frac{(0 + 5)(0 - 7)}{3(0) - 1} = \frac{(5)(-7)}{-1} = \frac{-35}{-1} > 0
[/m]

- Выбираем точку из промежутка [m](\frac{1}{3}, 7)[/m], например [m]x = 1[/m]:
[m]
\frac{(1 + 5)(1 - 7)}{3(1) - 1} = \frac{(6)(-6)}{2} = \frac{-36}{2} < 0
[/m]

- Выбираем точку из промежутка [m](7, +\infty)[/m], например [m]x = 8[/m]:
[m]
\frac{(8 + 5)(8 - 7)}{3(8) - 1} = \frac{(13)(1)}{23} > 0
[/m]

4. Отметим нули числителя и выколотыe точки знаменателя:
--- В точках [m]-5[/m] и [m]7[/m] числитель равен 0.
--- В точке [m]\frac{1}{3}[/m] знаменатель равен 0.

5. Запишем решение, исключая точки, в которых знаменатель равен нулю ([m]\frac{1}{3}[/m]):
[m]
x \in (-5, \frac{1}{3}) \cup (7, +\infty)
[/m]

Ответ:
[m]
x \in (-5, \frac{1}{3}) \cup (7, +\infty)
[/m]