Задача 77872 Найдите все значения а при каждом из...
Условие
Решение
Слева сумма квадратов, справа сумма модулей, которая неотрицательна.
Значит, никаких особых условий тут быть не может.
Найдем, при каких а и x обе части равны 0.
{ x^4 + (a - 3)^2 = 0
{ |x - a + 3| + |x + a - 3| = 0
Это значит, что оба квадрата равны 0 и оба модуля равны 0:
{ x = 0
{ a = 3
{ |0 - 3 + 3| + |0 + 3 - 3| = |0| + |0| = 0
Это единственное решение.
[b]a = 3, x1 = 0[/b]
Теперь, пусть эти части не равны 0, тогда рассмотрим 4 случая:
1) x < a - 3, тогда x - a + 3 < 0, |x - a + 3| = -x + a - 3
И одновременно x < -a + 3, тогда x + a - 3 < 0, |x + a - 3| = -x - a + 3
Проверим, может ли такое быть.
Если a < 3, то a - 3 < 0, x < a - 3 < 0, то есть x < 0.
Но тогда -a+3 > 0, а x < 0, то есть x < -a+3 автоматически.
Если же a > 3, то a-3 > 0, а -a+3 < 0, тогда x < -a+3 < 0, то есть x < 0
И x < a-3 автоматически. Значит, такое может быть.
x^4 + (a - 3)^2 = -x + a - 3 + (-x - a + 3)
x^4 + (a - 3)^2 = -2x
x^4 + 2x + (a - 3)^2 = 0
Это уравнение имеет 1 корень x = -0,794 при a = 1,909 и x = -0,794 при a = 4,091
Но в обоих случаях соблюдается только одно из условий x < a - 3 или x < -a + 3.
Поэтому эти решения не подходят.
Пример такой функции при a = 1,909 показан на Рис. 1.
2) x < a - 3, тогда x - a + 3 < 0, |x - a + 3| = -x + a - 3
И одновременно x > -a + 3, тогда x + a - 3 > 0, |x + a - 3| = x + a - 3
Проверим, может ли такое быть.
Если a < 3, то a-3 < 0, x < a-3 < 0, то есть x < 0
Если же a > 3, то a-3 > 0, и -a+3 < 0, тогда x не может быть одновременно
больше положительного и меньше отрицательного числа.
Если же a > 3, то a-3 > 0, и -a+3 < 0, тогда x > -a+3
То есть -a+3 < x < a-3. Значит, в этом случае должно быть a > 3.
x^4 + (a - 3)^2 = -x + a - 3 + x + a - 3
x^4 + (a - 3)^2 = 2(a - 3)
x^4 = 2(a - 3) - (a - 3)^2
x^4 = (a - 3)(2 - a + 3)
x^4 = (a - 3)(5 - a)
Если a > 3, то a-3 > 0, 5-a >= 0, то есть a ∈ (3; 5]
При этом будет один корень:
[b]a ∈ (3; 5]; x2 = Корень 4 степени из (a - 3)(5 - a)[/b]
3) x > a - 3, тогда x - a + 3 > 0, |x - a + 3| = x - a + 3
И одновременно x < -a + 3, тогда x + a - 3 < 0, |x + a - 3| = -x - a + 3
Проверим, может ли такое быть.
Если a < 3, то a-3 < 0, x > a-3
Но тогда -a+3 > 0, а x < -a+3, то есть a-3 < x < -a+3 - может быть.
Если же a > 3, то a-3 > 0, и -a+3 < 0, тогда x не может быть одновременно
больше положительного и меньше отрицательного числа.
Значит, в этом случае должно быть a < 3 и a-3 < x < -a+3.
x^4 + (a - 3)^2 = x - a + 3 + (-x - a + 3)
x^4 + (a - 3)^2 = -2(a - 3)
x^4 = -2(a - 3) - (a - 3)^2
x^4 = (a - 3)(-2 - a + 3)
x^4 = (a - 3)(1 - a)
Если a < 3, то a-3 < 0, 1-a <= 0, то есть a ∈ [1; 3)
При этом будет один корень:
[b]a ∈ [1; 3); x3 = Корень 4 степени из (a - 3)(1 - a)[/b]
4) x > a - 3, тогда x - a + 3 > 0, |x - a + 3| = x - a + 3
И одновременно x > -a + 3, тогда x + a - 3 > 0, |x + a - 3| = x + a - 3
Проверим, может ли такое быть.
Если a < 3, то a-3 < 0, x > a-3
Но тогда -a+3 > 0, а x > -a+3, то есть x > 0 автоматически.
Если же a > 3, то a-3 > 0, а -a+3 < 0, тогда x > a-3
И x > -a+3 автоматически. Значит, такое может быть.
x^4 + (a - 3)^2 = x - a + 3 + x + a - 3
x^4 + (a - 3)^2 = 2x
x^4 - 2x + (a - 3)^2 = 0
Решение этого уравнения такое же, как в 1)
Это уравнение имеет 1 корень x = +0,794 при a = 1,909 и x = +0,794 при a = 4,091
Но в обоих случаях соблюдается только одно из условий x > a - 3 или x > -a + 3.
Поэтому эти решения не подходят.
Пример такой функции при a = 4,091 показан на Рис. 2.
Ответ: 1 решение будет в 3 случаях:
[b]a = 3, x1 = 0[/b]
[b]a ∈ (3; 5]; x2 = Корень 4 степени из (a - 3)(5 - a)[/b]
[b]a ∈ [1; 3); x3 = Корень 4 степени из (a - 3)(1 - a)[/b]
