Задача 77872 Найдите все значения а при каждом из...

Елена-Алексеевна_295929291

22 июня 2024 г. в 12:45

Найдите все значения а при каждом из которых уравнение x⁴+ (a – 3)² = |x – a + 3|+|x + a – 3| либо имеет единственное решение, либо не имеет решений.

Удачник66

22 июня 2024 г. в 01:17

★

x⁴ + (a – 3)² = |x – a + 3| + |x + a – 3|
Слева сумма квадратов, справа сумма модулей, которая неотрицательна.
Значит, никаких особых условий тут быть не может.
Найдем, при каких а и x обе части равны 0.
{ x⁴ + (a – 3)² = 0
{ |x – a + 3| + |x + a – 3| = 0
Это значит, что оба квадрата равны 0 и оба модуля равны 0:
{ x = 0
{ a = 3
{ |0 – 3 + 3| + |0 + 3 – 3| = |0| + |0| = 0
Это единственное решение.
a = 3, x1 = 0

Теперь, пусть эти части не равны 0, тогда рассмотрим 4 случая:
1) x < a – 3, тогда x – a + 3 < 0, |x – a + 3| = –x + a – 3
И одновременно x < –a + 3, тогда x + a – 3 < 0, |x + a – 3| = –x – a + 3
Проверим, может ли такое быть.
Если a < 3, то a – 3 < 0, x < a – 3 < 0, то есть x < 0.
Но тогда –a+3 > 0, а x < 0, то есть x < –a+3 автоматически.
Если же a > 3, то a–3 > 0, а –a+3 < 0, тогда x < –a+3 < 0, то есть x < 0
И x < a–3 автоматически. Значит, такое может быть.
x⁴ + (a – 3)² = –x + a – 3 + (–x – a + 3)
x⁴ + (a – 3)² = –2x
x⁴ + 2x + (a – 3)² = 0
Это уравнение имеет 1 корень x = –0,794 при a = 1,909 и x = –0,794 при a = 4,091
Но в обоих случаях соблюдается только одно из условий x < a – 3 или x < –a + 3.
Поэтому эти решения не подходят.
Пример такой функции при a = 1,909 показан на Рис. 1.

2) x < a – 3, тогда x – a + 3 < 0, |x – a + 3| = –x + a – 3
И одновременно x > –a + 3, тогда x + a – 3 > 0, |x + a – 3| = x + a – 3
Проверим, может ли такое быть.
Если a < 3, то a–3 < 0, x < a–3 < 0, то есть x < 0
Если же a > 3, то a–3 > 0, и –a+3 < 0, тогда x не может быть одновременно
больше положительного и меньше отрицательного числа.
Если же a > 3, то a–3 > 0, и –a+3 < 0, тогда x > –a+3
То есть –a+3 < x < a–3. Значит, в этом случае должно быть a > 3.
x⁴ + (a – 3)² = –x + a – 3 + x + a – 3
x⁴ + (a – 3)² = 2(a – 3)
x⁴ = 2(a – 3) – (a – 3)²
x⁴ = (a – 3)(2 – a + 3)
x⁴ = (a – 3)(5 – a)
Если a > 3, то a–3 > 0, 5–a >= 0, то есть a ∈ (3; 5]
При этом будет один корень:
a ∈ (3; 5]; x2 = Корень 4 степени из (a – 3)(5 – a)

3) x > a – 3, тогда x – a + 3 > 0, |x – a + 3| = x – a + 3
И одновременно x < –a + 3, тогда x + a – 3 < 0, |x + a – 3| = –x – a + 3
Проверим, может ли такое быть.
Если a < 3, то a–3 < 0, x > a–3
Но тогда –a+3 > 0, а x < –a+3, то есть a–3 < x < –a+3 – может быть.
Если же a > 3, то a–3 > 0, и –a+3 < 0, тогда x не может быть одновременно
больше положительного и меньше отрицательного числа.
Значит, в этом случае должно быть a < 3 и a–3 < x < –a+3.
x⁴ + (a – 3)² = x – a + 3 + (–x – a + 3)
x⁴ + (a – 3)² = –2(a – 3)
x⁴ = –2(a – 3) – (a – 3)²
x⁴ = (a – 3)(–2 – a + 3)
x⁴ = (a – 3)(1 – a)
Если a < 3, то a–3 < 0, 1–a <= 0, то есть a ∈ [1; 3)
При этом будет один корень:
a ∈ [1; 3); x3 = Корень 4 степени из (a – 3)(1 – a)

4) x > a – 3, тогда x – a + 3 > 0, |x – a + 3| = x – a + 3
И одновременно x > –a + 3, тогда x + a – 3 > 0, |x + a – 3| = x + a – 3
Проверим, может ли такое быть.
Если a < 3, то a–3 < 0, x > a–3
Но тогда –a+3 > 0, а x > –a+3, то есть x > 0 автоматически.
Если же a > 3, то a–3 > 0, а –a+3 < 0, тогда x > a–3
И x > –a+3 автоматически. Значит, такое может быть.
x⁴ + (a – 3)² = x – a + 3 + x + a – 3
x⁴ + (a – 3)² = 2x
x⁴ – 2x + (a – 3)² = 0
Решение этого уравнения такое же, как в 1)
Это уравнение имеет 1 корень x = +0,794 при a = 1,909 и x = +0,794 при a = 4,091
Но в обоих случаях соблюдается только одно из условий x > a – 3 или x > –a + 3.
Поэтому эти решения не подходят.
Пример такой функции при a = 4,091 показан на Рис. 2.

Ответ: 1 решение будет в 3 случаях:
a = 3, x1 = 0
a ∈ (3; 5]; x2 = Корень 4 степени из (a – 3)(5 – a)
a ∈ [1; 3); x3 = Корень 4 степени из (a – 3)(1 – a)