Задача 77862 Первый предел: lim (x->0) (sin5x/(корень...

просто хороший человек

21 июня 2024 г. в 01:03

Первый предел: lim (x–>0) (sin5x/(корень 3 степени из (2+x) – корень 3 степени из 2)
Второй предел: lim (x–>бескон.) (x(ln(x+2) – lnx))

Удачник66

21 июня 2024 г. в 04:23

★

1) $\lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{\sqrt[3]{2+x} - \sqrt[3]{2}} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} \cdot \frac{5x(\sqrt[3]{(2+x)^2} + \sqrt[3]{2+x}\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2^2})}{(\sqrt[3]{2+x} - \sqrt[3]{2})(\sqrt[3]{(2+x)^2} + \sqrt[3]{2+x}\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{2^2})} =$
Первая дробь – это 1 Замечательный предел: $\lim \limits_{z \to 0} \frac{\sin z}{z} = 1$.
Вторую дробь домножаем на скобку, чтобы в знаменателе была разность кубов.
$= 1 \cdot \lim \limits_{x \to 0} \frac{5x(\sqrt[3]{(2+x)^2} + \sqrt[3]{2+x}\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})}{(\sqrt[3]{2+x})^3 - (\sqrt[3]{2})^3} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{5x(\sqrt[3]{(2+x)^2} + \sqrt[3]{2+x}\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})}{2+x-2} =$
$= \lim \limits_{x \to 0} 5(\sqrt[3]{(2+x)^2} + \sqrt[3]{2+x}\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}) =$
$= 5(\sqrt[3]{2^2} + \sqrt[3]{2}\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}) = 5 \cdot 3\sqrt[3]{4} = 15\sqrt[3]{4}$

2) $\lim \limits_{x \to \infty} x(\ln (x+2) - \ln x) = \lim \limits_{x \to \infty} x \ln \frac{x+2}{x}= \lim \limits_{x \to \infty} x \ln (1+\frac{2}{x}) =$
$= \lim \limits_{x \to \infty} \ln (1 + \frac{2}{x})^{x} = \ln \lim \limits_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^{x}$
Это 2 Замечательный предел, расширенный: $\lim \limits_{z \to \infty} (1 + \frac{k}{z})^{z}= e^{k}$
$\ln \lim \limits_{x \to \infty} (1 + \frac{2}{x})^{x} = \ln e^2 = 2$