Задача 77859 сколько решений имеет система, в...

Dina_92745229

21 июня 2024 г. в 09:02

сколько решений имеет система, в зависимости от значения параметра а ?

Удачник66

21 июня 2024 г. в 01:00

★

{ |x| + |y| = a
{ x² + y² = 1

Решаем алгебраически.
Рассмотрим функцию |x| + |y| = a.
Очевидно, что при a < 0 функция не существует, потому что модули неотрицательны.
При а = 0 решением будет одна точка x = 0, y = 0: O(0, 0)
При a > 0 будет 4 отрезка:
y = –x – a при x < 0, y < 0
y = x – a при x > 0, y < 0
y = –x + a при x > 0, y > 0
y = x + a при x < 0, y > 0
Это получается диагональный квадрат из 4 отрезков.
Заметим, что |x| ≤ a, |y| ≤ a, то есть x ∈ (–a; a); y ∈ (–a; a) при a > 0

Второе уравнение: x² + y² = 1 – это окружность, O(0; 0); R = 1
Перепишем его так:
y1 = –√1 – x² (при y ≤ 0)
y2 = √1 – x² (при y ≥ 0)
Очевидно, что при a < 1 график 1 уравнения целиком лежит внутри окружности,
поэтому система решений не имеет. Это показано на Рис а).
При а = 1 будет 4 решения: (–1; 0); (1; 0); (0; –1); (0; 1). Это показано на Рис б).
Далее, найдем при каком а прямые будут касаться окружности.
1) x < 0, y < 0
–x – a = –√1 – x²
x + a = √1 – x²
x² + 2ax + a² = 1 – x²
2x² + 2ax + (a² – 1) = 0
D = (2a)² – 4·2(a² – 1) = 4a² – 8a² + 8 = 8 – 4a² = 4(2 – a²)
Так как прямая касается окружности, то уравнение имеет 1 решение.
Значит, D = 0
4(2 – a²) = 0
a² = 2
a = √2
Значение a = –√2 не подходит, потому что мы знаем, что a > 0.

Тоже самое получится при решении любого из 4 уравнений:
2) x > 0, y < 0
x – a = –√1 – x²
a – x = √1 – x²
a² – 2ax + x² = 1 – x²

3) x > 0, y > 0
–x + a = √1 – x²
a – x = √1 – x²
a² – 2ax + x² = 1 – x²

4) x < 0, y > 0
x + a = √1 – x²
x² + 2ax + a² = 1 – x²

Таким образом, мы получаем, что при a ∈ (1; √2) квадрат и окружность пересекаются в 8 точках, то есть будет 8 решений. Это показано на Рис в).
А при a = √2 будет 4 решения: (–√2; –√2); (–√2; √2); (√2; –√2); (√2; √2)
Это показано на Рис г).
И, наконец, при a > √2 окружность окажется внутри квадрата, и решений опять нет.
Это показано на Рис д).