Задача 77858 Найти наибольшее и наименьшее значение...

Ksysheba

21 июня 2024 г. в 07:45

Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x)= x³+3x²–9x на отрезке |–4;0|

admin

24 июня 2024 г. в 06:27

★

1. Найдем критические точки функции на интервале $[-4; 0]$:

Для этого найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = 3x^2 + 6x - 9$

Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
$3x^2 + 6x - 9 = 0$

2. Решим квадратное уравнение:

Сначала делим оба члена уравнения на 3:
$x^2 + 2x - 3 = 0$

Решаем квадратное уравнение:
$x^2 + 2x - 3 = 0$

Для нахождения корней используем формулу корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

где $a = 1$, $b = 2$, $c = -3$. Подставляем значения:
$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)}$
$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}$
$x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2}$
$x_{1,2} = \frac{-2 \pm 4}{2}$

Получаем два корня:
$x_1 = \frac{2}{2} = 1$
$x_2 = \frac{-6}{2} = -3$

3. Проверяем, попадают ли критические точки в интервал $[-4; 0]$:

Корень $x = 1$ не входит в наш интервал, поэтому рассматриваем только $x = -3$.

4. Вычисляем значение функции в критической точке $x = -3$ и на концах отрезка $x = -4$ и $x = 0$:

$f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3)$
$f(-3) = -27 + 27 + 27$
$f(-3) = 27$

$f(-4) = (-4)^3 + 3(-4)^2 - 9(-4)$
$f(-4) = -64 + 48 + 36$
$f(-4) = 20$

$f(0) = 0^3 + 3 \cdot 0^2 - 9 \cdot 0$
$f(0) = 0$

5. Сравниваем найденные значения:

– $f(-3) = 27$
– $f(-4) = 20$
– $f(0) = 0$

Ответ:
– Наибольшее значение функции на отрезке $[-4; 0]$ равно $27$.
– Наименьшее значение функции на отрезке $[-4; 0]$ равно $0$.