Задача 77858 Найти наибольшее и наименьшее значение...
Условие
Решение
Для этого найдем производную функции [m] f(x) [/m]:
[m] f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 [/m]
Приравниваем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
[m] 3x^2 + 6x - 9 = 0 [/m]
2. Решим квадратное уравнение:
Сначала делим оба члена уравнения на 3:
[m] x^2 + 2x - 3 = 0 [/m]
Решаем квадратное уравнение:
[m] x^2 + 2x - 3 = 0 [/m]
Для нахождения корней используем формулу корней квадратного уравнения [m] ax^2 + bx + c = 0 [/m]:
[m] x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} [/m]
где [m] a = 1 [/m], [m] b = 2 [/m], [m] c = -3 [/m]. Подставляем значения:
[m] x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} [/m]
[m] x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} [/m]
[m] x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} [/m]
[m] x_{1,2} = \frac{-2 \pm 4}{2} [/m]
Получаем два корня:
[m] x_1 = \frac{2}{2} = 1 [/m]
[m] x_2 = \frac{-6}{2} = -3 [/m]
3. Проверяем, попадают ли критические точки в интервал [m][-4; 0][/m]:
Корень [m] x = 1 [/m] не входит в наш интервал, поэтому рассматриваем только [m] x = -3 [/m].
4. Вычисляем значение функции в критической точке [m] x = -3 [/m] и на концах отрезка [m] x = -4 [/m] и [m] x = 0 [/m]:
[m] f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) [/m]
[m] f(-3) = -27 + 27 + 27 [/m]
[m] f(-3) = 27 [/m]
[m] f(-4) = (-4)^3 + 3(-4)^2 - 9(-4) [/m]
[m] f(-4) = -64 + 48 + 36 [/m]
[m] f(-4) = 20 [/m]
[m] f(0) = 0^3 + 3 \cdot 0^2 - 9 \cdot 0 [/m]
[m] f(0) = 0 [/m]
5. Сравниваем найденные значения:
- [m] f(-3) = 27 [/m]
- [m] f(-4) = 20 [/m]
- [m] f(0) = 0 [/m]
Ответ:
- Наибольшее значение функции на отрезке [m][-4; 0][/m] равно [m] 27 [/m].
- Наименьшее значение функции на отрезке [m][-4; 0][/m] равно [m] 0 [/m].